华东理工大学概率论答案,2————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：3/10华东理工大学概率论与数理统计学院____________专业____________班级____________学号____________姓名____________任课教师____________第十九次作业一．填空题：1．在一批垫圈中随机抽取10个，测得它们的厚度(单位:mm)如下:1.23，1.24，1.26，1.29，1.20，1.32，1.23，1.23，1.29，1.28用矩估计法得到这批垫圈的数学期望的估计值?=257.1x，标准差的估计值?=037.01ns。2．将合适的数字填入空格，其中：（1）总体矩，（2）样本矩，（3）中心极限定理，（4）大数定理。矩估计的做法是用（2），代替（1），其依据是（4）。3．已知总体),(~2NX，其中未知参数和的极大似然估计分别为1nSX和，则概率}2{XP的极大似然估计为12nSX。二．计算题：1．设总体X的分布律为1,,2,1,0,1}{NkNkXP，其中N未知，nXX,,1为来自该总体的样本，试分别求N的矩估计MN?和极大似然估计LN?解：（1）矩估计总体均值：212)1(11)1(1110NNNNNNNNEX，样本平均值：niiXnX11，令XEX，即XN21，得12XN，即N的矩估计为12?XNM。（2）极大似然设),(21nXXX，，的一组观测值为),(21nxxx，，，4/10似然函数niixXPNL1)()(nN1，显然N越小，似然函数值越大。由10)()1(Nxxn,得1)(nxN，则N的极大似然估计值为1?)(nLxN，即N的极大似然估计为1?)(nLXN2．设总体X服从几何分布：1)1()(xppxXP，,2,1x，其中p未知。设),,,(21nXXX为X的样本，试求p的矩法估计和极大似然估计。解：(1)由于()Gep，因此1Ep，由矩法原则可知EX，故1?pX。(2)设样本12(,,,)nXXXL的一组观测值为12(,,,)nxxxL,由于总体为离散型,因此似然函数11()()(1)niinxnniiiLpPXxpp,取对数,得1ln()lnln(1)niiLpnpxnp,上式两端关于p求导,令1ln()01niixndLpndppp,解上式,得111?01XpppX。3．设总体总体X的密度函数为其他,010,)1()(xxxf，其中1是未知参数,),(21nXXX，，是来自总体的样本，分别用矩估计法和极大似然法求的估计量。解：总体X的数学期望为21)1()(1dxxdxxxfEX,设niiXnX11为样本均值,则应有：21X,解得的矩法估计量为:XX112?；5/10设),(21nxxx，，是样本),(21nXXX，，的观察值,则似然函数为：niixfL1)()(niix1)1(其他,0,,2,1,10,)()1(21nixxxxinn,当),,2,1(10nixi时,,0)(L,ln)1ln()(ln1niixnL令0ln1)(ln1niixndLd,解得的极大似然估计值：niixn1ln1?，故的极大似然估计量为：niiXn1ln1?。4．设总体X的分布律为X0123P2)1(2221其中)210(是未知参数。现有一样本：3,1,3,0,3,1,2,3。求的矩估计值M?和极大似然估计值L?。解：(1)由矩法原则可知：22012(1)23(12)34EXX，由样本得：3130312328X，故的矩估计值41?M。(2)注意该总体为离散型，且分布律不能由解析式表示。似然函数12345678(){3}{3}{3}{0}{3}{1}{2}{3}LPXPXPXPXPXPXPXPX2224624()(2(1))(12)4(1)(12)，取对数，得ln()ln46ln2ln(1)4ln(12)L，令2ln()628242860112(1)(12)dLd，6/10解得12137，由于2112137不合题意，故舍去。因此，的极大似然估计值为12137?L。第二十次作业一．选择题：1．设总体X的数学期望为，),,,(21nXXX是取自总体的样本，则下列命题中正确的是(A)A.1X是的无偏估计量；B.1X是的极大似然估计量；C.1X是的一致(相合)估计量；D.1X不是估计量。2．设),,,(21nXXX为总体),(~2NX(已知)的一个样本,X为样本均值,则总体方差2的下列估计量中,为无偏估计量的是(C).A.21)(1niiXXn;B.211)(11niiXXn;C.21)(1niiXn;D.21)(11niiXn;二．计算证明题：1．设总体)1,(~N，),,(321XXX是的样本，（1）证明：3211414121XXX3212313131XXX3213515252XXX都是的无偏估计。（2）1，2，3这三个估计中，哪一个估计最有效？证明：7/10(1)112312321231233123123111111111?,244244244111111111?,333333333221221221?,555555555EEXXXEXEXEXEEXXXEXEXEXEEXXXEXEXEX所以,123???,,都是的无偏估计.(2)由于样本12,,,nXXXL独立同分布,那么1123123212312331231231111113?,2444161681111111?,33399932214419?,55525252525DDXXXDXDXDXDDXXXDXDXDXDDXXXDXDXDX可知132???DDD,...
