直线与平面平行的判定和性质[基础知识]直线与平面直线与平面的位置关系直线在平面内直线在平面外直线和平面相交直线和平面平行定义判定定理性质定理[学习指导]1．如何深刻理解直线与平面的三种位置关系？直线不和平面平行就一定相交吗？直线和平面有三种位置关系：直线在平面内，直线和平面平行，直线和平面相交，为进一步深刻理解这三种位置关系，我们可以按两种不同的分类标准采用二分法（把研究的对象分成互不相容的两类，每个对象都属于其中一类且仅属于这一类）进行分类，即直线在平面内①直线和平面相交直线不在平面内直线和平面平行直线和平面平行②直线和平面相交所以，直线不和平面平行不一定就是相交，应包括直线和平面相交，直线在平面内两种情况.2．“一条直线和一个平面内的一条直线平行，则这条直线和平面平行”对吗？为什么？不对.为判定一条直线和平面平行，根据定义推证了判定定理：如果平面外一条直线和这个平面1直线不和平面平行直线在平面内内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.用这个定理来判定直线l∥平面时，必须符合定理中的三个条件：（1）直线l在平面外（l）；（2）直线a在平面内（a）；（3）直线l平行于直线a（l∥a）.这三个条件缺一不可，如缺条件（1）时直线l不一定和平面平行，它们的位置关系有两种：直线l在平面内，直线l平行于平面.3．运用反证法“怎样才算归结到谬误，导出矛盾”呢？运用反证法证题中从“假设出发，推理导出矛盾”通常有以下几种不同途径：（1）导出结果与所作假设矛盾；（2）导出结果与已知条件矛盾；（3）导出结果与已知公理、定义、定理相矛盾；（4）导出结果之间互相矛盾.4．至此为止，已学习了哪些证明“平行”的定理?证明“平行”的常用思维方法是什么？（1）空间两条直线平行的判定：①平行于同一直线的两条直线平行；②直线和平面平行的性质定理：若一直线平行于一个平面，过该直线的平面与已知平面相交，则该直线与其交线平行（线面平行，则线线平行）.（2）直线与平面平行的判定：直线与平面平行的判定定理：若平面外一条直线与平面内一条直线，则该直线与这个平面平行（线线平行，则线面平行）.证明“平行”常用的思维方法，就是“线线平行”与“线面平行”的相互转化，即直线和平面平行的判定定理线线平行线面平行直线和平面平行的性质定理[例题精析]例1.经过两条异面直线中的一条，有且仅有一个平面和另一条直线平行.已知：a，b是异面直线.2求证：经过b有一个平面并且只有一个平面和a平行.[分析]此题需分二步证明,一先由线线平行得出经过b有一个平面和a平行；二再证明唯一性.[证明]如图3-1，在b上任取一点A，经过A作直线a’∥a， a’和b是相交直线，∴a’，b可确定一个平面. a∥a’，∴a∥平面.∴经过b有一个平面和a平行；再证明经过b且与a平行的平面只有一个.如果平面经过直线b且与直线a平行的平面，那么经过直线b上一点A和直线a可以确定一个平面和平面的交线与a平行. 经过点A只能有直线a的一条平行线，∴这条交线就是a’.∴平面必定是直线b和a’所确定的平面，平面和平面重合，∴经过b只有一个平面和直线a平行.[解题后的点拨]本题证明唯一性的方法叫做同一法，它是一种间接证法.同一法常用于证明图形具有某种性质，它的一般步骤为：（1）作图作出符合命题结论的图形;（2）合一利用唯一性的公理、定理，证明所作的图形与已知图形相重合；（3）判断断定原来命题结论的正确性.例2.如图3-2，P是平行四边形ABCD外一点，O为AC和BD的交点，E、F分别是PB、PC的中点.试判断OE、OF、EF分别与哪些平面平行，并加以证明.3[分析]因O，E，F均是线段的中点，由三角形中位线定理可得两线平行，进而推得线面平行.[解]（1）OE∥平面PAD，OE∥平面PCD. AC，BD是▱ABCD的对角线，∴BO=DO. PE=BE，∴OE∥PD. PD平面PAD，PD平面PCD，OE平面PAD，OE平面PCD，∴OE∥平面PAD，OE∥平面PCD.（2）OF∥平面PAB，OF∥平面PAD. AC，BD是▱ABCD的对角线，∴AO=CO.又 PF=CF，∴OF∥PA. PA平面PAB，PA平面PAC，OF平面PAB，OF平面PAD，∴OF∥平面PAB，OF∥平面PAD.EF∥平面ABCD,EF∥平面PAD.（3） PE=BE，PF=CF，∴EF∥BC， BC...
