棱柱[基础知识]概念与分类棱柱的性质棱柱性质直棱柱的性质常见的四棱柱性质直棱柱的直观图[学习指导]1.为什么要学习棱柱？在前面第一单元中，我们研究了空间的直线、平面位置关系，其中平行与垂直关系的判定和性质是中心内容，角与距离的证明和计算是进行位置关系定量研究的主要问题，并且培养了同学们的空间想象能力和逻辑推理能力，如何将所学到的知识熟练掌握以及灵活运用呢？我们在第二单元中借助一些简单几何体，通过研究体的性质，能够对常见的几何体有比较全面的认识，在此基础上加深对前面所学知识的理解和掌握，并会应用.棱柱就是同学们所接触的第一个几何体.2.如何判定一个几何体是棱柱？要紧紧扣住定义去判定，不能说有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的几何体就是棱柱.如图7-3，这是由两个平行六面体垒起来的，有两个面相互平行，其余各面是平行四边形，但它不是棱柱.3.直平行六面体、长方体、直四棱柱、正四棱柱、正方体之间有什么关系？根据课本中的定义来看，它们之间的关系是：{直四棱柱}⊃{直平行六面体}⊃{长方体}⊃{正四棱柱}⊃{正方体}.4．如何求棱柱的侧面积、表面积和体积？棱柱的侧面积=所有侧面面积的和直棱柱的侧面积=底面多边形周长×侧棱长（高）棱柱的表面积=侧面积+上、下底面面积棱柱的体积=底面积×高[例题精析]例1.平行六面体ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD是菱形，且A1B=A1D.求证：（1）对角面AA1C1C⊥截面A1BD；（2）对角面D1DBB1是矩形.[分析]由已知条件底面ABCD是菱形，可得BD⊥AC，故只要证BD⊥平面AC1即可.[证明]（1）平行六面体的底面ABCD的对角线交于O，连结AO. 底面ABCD是菱形,∴AC⊥BD,且O为BD中点 A1D=A1B,∴A1O⊥BD,AC∩A1O=O,∴BD⊥对角面A1ACC1. BD⊂面A1BD.∴对角面AA1C1C⊥截面A1BD.(2)由(1)可知BD⊥面A1ACC1.CC1⊂面A1ACC1∴BD⊥CC1,1 平行六面体中CC1∥BB1,∴BD⊥BB1.∴对角面D1DBB1是矩形.[解题后的点拨]在前面第一单元中,我们学习了空间的直线和平面的位置关系的判定和性质定理,在这一单元中的简单几何体的习题中,同学们要学会将所学到的定理运用到几何体中,提高识图能力,提高分析问题、解决问题的能力,这就要求同学不仅要对第一单元的定理记熟记牢,还要将简单几何体的性质记熟记牢,共同运用,达到解题、证题运用自如的地步.例2.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=a,BC=CA=AA1=a,A1在底面△ABC的射影O在AC上，（1）求AB与侧面AC1所成的角;(2)若O恰是AC的中点,求此三棱柱的侧面积.[分析]求线面成角,关键要找出斜线在平面的射影,找出平面的垂线.求三棱柱的侧面积,可分别求出各侧面面积再求和.[解](1) A1O⊥底面ABC,BC⊂面ABC.∴A1O⊥BC, AB=a,BC=AC=a,∴BC⊥AC, AC∩A1O=O,∴BC⊥面A1ACC1,∴∠BAC为AB与侧面AC1所成的角,∠BAC=45°,∴AB与侧面AC1所成的角为45°.(2) O为AC的中点,AA1=AC=a,∴AO=,A1O== BC⊥面A1C，∴BC⊥CC1∴侧面B1BCC1为矩形.∴S=过O作OD⊥AB于D,连结A1D. A1O⊥面ABC∴A1D⊥AB(三垂线定理) OD=AOsin45°=∴A1D=∴=∴S侧=[解题后的点拨]在第一单元中所学到有关角和距离的概念,到几何体中求时,仍然要遵循其定义,按照作图→证明→求值的步骤去做.例3.已知直三棱柱ABC-A1B1C1,侧棱长为2,底面ΔABC中,∠B=90°,AB=1,BC=,D是侧棱CC1上一点,且BD与底面所成角为30°.(1)求点D到AB所在直线的距离;(2)求面A1BD与面2BDC1B1所成二面角的度数.[分析]在空间求点到直线的距离,关键是确定垂足的位置.由直三棱柱的侧面和底面垂直的性质,得到AB⊥侧面B1C,AB⊥侧面B1C中的直线BD.则BD的长就是D到AB的距离.求二面角的度数,首先要确定二面角的平面角,由A1B1∥AB,可知A1B1⊥侧面B1C,二面角棱BD在侧面B1C内,过B1作BD的垂线于E,连结A1与垂足E,则面A1B1E⊥BD,BD⊥A1E,∠A1EB1即为二面角的平面角.图7-6.[解](1) 直三棱柱ABC-A1B1C1, CC1⊥底面ABC.BC为BD在底面的射影,∴∠DBC=30°.BC=∴BD=2. 侧面B1C⊥底面ABC,∠B=90°,∴AB⊥侧面B1C, BD面B1C,∴AB⊥BD.BD即为D到AB的距离,长为2.(2)在侧面B1C内,过B1作B1E⊥BD,垂足为E,连结A1E. AB⊥BD,AB∥A1B1,∴A1B1⊥BD,A1B1∩B1E=B1,∴BD⊥面A1B1E,∴BD⊥A1E,∴∠A1EB1即为二面角的...
