湖南省怀化市溆浦县第三中学高中数学 圆的一般方程教案 新人教A版必修2VIP免费

4.1.2圆的一般方程【学习目标】【学习重难点】重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．难点：圆的一般方程的特点．【学习过程】（一）情景导入、展示目标前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r，现将展开可得x+y-2ax-2by+a+b-r=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x+y+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x+y+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．（二）检查预习、交流展示1.写出圆的标准方程.2.写出圆的标准方程中的圆心与半径.（三）合作探究、精讲精练探究一：圆的一般方程的定义1．分析方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的轨迹将方程x+y+Dx+Ey+F=0左边配方得：(1)(1)当D+E-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程1半径的圆；(3)当D+E-4F＜0时，方程x+y+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形．这时，教师引导学生小结方程x+y+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、法．2．引出圆的一般方程的定义当D+E-4F＞0时，方程x+y+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．探究二：圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0．与圆的一般方程x+y+Dx+Ey+F=0，(D+E-4F＞0)．的系数可得出什么结论？当二元二次方程Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0具有条件：(1)x和y的系数相同，不等于零，即A=C≠0；(2)没有xy项，即B=0；(3)D+E-4AF＞0．它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出．强调指出：(1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；2(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件．例1求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x+y-8x+6y=0，(2)x+y+2by=0．解析：先配方，将方程化为标准形式，再求圆心和半径．解：(1)圆心为(4，-3)，半径为5；(2)圆心为(0，-b)，半径为|b|，注意半径不为b．点拨：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握．练习:下列方程各表示什么图形?解析1)表示原点(0,0).例2求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．分析：已知圆上的三点坐标，可设圆的一般方程，用待定系数法求圆的方程．解：设所求圆的方程为x+y+Dx+Ey+F=0，由O、A、B在圆上，则有解得：D=-8，E=6，F=0，故所求圆的方程为x+y-8x+6=0．3点拨：1．用待定系数法求圆的方程的步骤：(1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程；(3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程．2．关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．变式训练２：求圆心在直线l：x+y=0上，且过两圆C∶x+y-2x+10y-24=0和C∶x+y+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．解：解方程组，得两圆交点为（－４，０），（０，２）．设所求圆的方程为(x-a)+(y-b)=r，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l上所以得方程组为解得ａ＝－３，ｂ＝３，ｒ＝．故所求圆的方程为：(x+3)+(y-3)=10．例题3例2.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.分析：用解析法来求解（四）反馈测试导学案当堂检测4【板书设计】一：圆的一般方程的定义1．分析方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的轨迹2．圆的一般方程的定义二：圆的一般方程的特点(1)分析：把方程两个完全平方式的和，即化为圆的标准式的形式（1）（2）(2)(3)例1变式训练１：例2变式训练２：例题3【作业布置】课后练习p123学海导航p77随堂演练5