高中数学解题技巧复习教案（9）：极限与探索性问题VIP专享VIP免费

第九讲极限与探索性问题【考点透视】1．理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．2．了解数列极限和函数极限的概念．3．掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．4．了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．【例题解析】考点1数列的极限1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a（即|an－a|无限地接近于0），那么就说数列{an}以a为极限.注意：a不一定是｛an｝中的项.2.几个常用的极限：①nlimC=C（C为常数）;②nlimn1=0;③nlimqn=0（|q|＜1）.3.数列极限的四则运算法则：设数列｛an｝、｛bn｝，当nliman=a,nlimbn=b时，nlim（an±bn）=a±b;例1.数列{na}满足:113a,且对于任意的正整数m,n都有mnmnaaa,则12lim()nnaaa()A.12B.23C.32D.2[考查目的]本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式lim0(1)nnqq的应用.[解答过程]由113a和mnmnaaa得23111,,.9273nnaaa1211(1)133lim()lim.1213nnxxaaa故选A.例2．设常数0a，421axx展开式中3x的系数为32，则2lim()nnaaa_____.[考查目的]本题考查利用二项式定理求出关键数,再求极限的能力.[解答过程]1482214rrrrrTCaxx，由18232,2,rrxxxr得4431=22rrCa由知a=，所以212lim()1112nnaaa，所以为1.例3.把21(1)(1)(1)nxxx展开成关于x的多项式，其各项系数和为na，则21lim1nnnaa→等于()（）A．14B．12C．1D．2[考查目的]本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式lim0(1)nnqq的应用.[解答过程]22121,1(1)(1)(1)122221,12nnnnnxaxxx当时1212211211limlimlimlim22.121122nnnnnnnnnnnaa→→→→()∴()()故选D例4.设等差数列na的公差d是2，前n项的和为nS，则22limnnnanS．思路启迪：由等差数列na的公差d是2，先求出前n项的和为nS和通项na．[解答过程]221222,,2nnnnaanaSnanan()(n1)(1)222222222122limlimlim3.1nnnnnaannannnaSnann()()∴1(1)故填3小结:1.运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点：（1）各数列的极限必须存在；（2）四则运算只限于有限个数列极限的运算.2.熟练掌握如下几个常用极限：（1）nlimC=C（C为常数）;（2）nlim（n1）p=0（p＞0）;（3）nlimdcnbankk=ca（k∈N*,a、b、c、d∈R且c≠0）;（4）nlimqn=0（|q|＜1）.例5.设正数a,b满足4)(22limbaxxx则nnnnnbaaba2111lim（）（A）0（B）41（C）21（D）1解:221lim()4,24,.2xaxaxbabb ∴4∴111111111112limlimlim.1224222nnnnnnxxxnnaaaaababaabbbbb[()][()]则()()故选B小结:重视在日常学习过程中运用化归思想.考点2函数的极限1.函数极限的概念：（1）如果xlimf（x）=a且xlimf（x）=a,那么就说当x趋向于无穷大时，函数f（x）的极限是a,记作xlimf（x）=a,也可记作当x→∞时，f（x）→a.（2）一般地，当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋近于一个常数a,就说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限是a,记作0limxxf（x）=a,也可记作当x→x0时，f（x）→a.（3）一般地，如果当x从点x=x0左侧（即x＜x0＝无限趋近于x0时，函数f（x）无限趋近于常数a,就说a是函数f（x）在点x0处的左极限，记作0limxxf（x）=a.如果从点x=x0右侧（即x＞x0）无限趋近于x0时，函数f（x）无限趋近于常数a,就说a是函数f（x）在点x0处的右极限，记作0limxxf（x）=a.2.极限的四则运算法则：如果0limxxf（x）=a,0limxxg（x）=b,那么0limxx[f（x）±g（x）]=a±b;0limxx[f（x）·g（x）]=a·b;0limxx)()(xgxf=ba（b≠0）.例6．1lim2...