第三章《三角恒等变换》教学设计（复习课）【教学目标】进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：新授课阶段1.11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式.你能根据下图回顾推导过程吗？2．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；3．求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围.4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行1cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβcos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβsin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβsin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβtan（α+β）=tan（α-β）=sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2αtan2α=变换使其左右相等.5.三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式，cosα=cosβcos（α-β）-sinβsin（α-β），1=sin2α+cos2α，==tan（450+300）等.例1知，求sin4a的值．解：∵∴∴∴cos2a=又∵∴2aÎ(p,2p)∴sin2a=∴sin4a=2sin2acos2a=例2已知q是三角形中的一个最小的内角，且，求a的取值范围．解：原式变形：即，显然（若，则0=2）∴又∵，∴即：解之得：例3求证：的值是与a无关的定值．证：2∴的值与a无关例4已知．解：由得解方程组得或例5求值：．解：原式=3例6．已知函数.（Ⅰ）求的定义域；（Ⅱ）设的第四象限的角，且，求的值．解：（Ⅰ）由得，故在定义域为（Ⅱ）因为，且是第四象限的角,所以故.例7已知sin（－x）=，0＜x＜，求的值.分析：角之间的关系：（－x）+（+x）=及－2x=2（－x），利用余角间的三角函数的关系便可求之.解：∵（－x）+（+x）=，∴cos（+x）=sin（－x）.4又cos2x=sin（－2x）=sin2（－x）=2sin（－x）cos（－x），∴=2cos（－x）=2×=.例8求证:解：原式======tan.例9已知，，都是锐角，求的值.解：由得3sin2α=1－2sin2β=cos2β.由得sin2β=sin2α.∴cos（α+2β）=cosαcos2β－sinαsin2β=3cosαsin2α－sinα·sin2α=0.∵α、β∈（0，），∴α+2β∈（0，）.∴α+2β=.课堂小结三角恒等式的证明方法有：5从等式一边推导变形到另一边，一般是化繁为简.等式两边同时变形成同一个式子.将式子变形后再证明.作业见同步练习拓展提升1．若，则等于（A）（B）（C）（D）2．函数y=sin2x+sinx,x的值域是()(A)［-,］(B)［］(C)［-,］(D)［］3．已知x∈（－，0），cosx=，则tan2x等于（）A.B.－C.D.－4．已知tan=,则的值为（）A．B．-C．D．-5．．，则．6．已知，若，则．若,则．67．若,则的值为_______．8．已知锐角三角形ABC中，求的值．9．10．设函数的最大值为M，最小正周期为T．（1）求M，T；（2）若有10个互不相等的正数满足M，且（i=1,2,…10），求…的值.7参考答案1．C2．B提示：用二倍角公式及两角和与差的正弦或余弦公式3．D4．A提示：5．．提示：由已知得，6．提示：当，当7．提示：去分母后两边平方可得8解：9解：810解：（1）（2）：，即，又是互不相等的正数且（i=1,2,…10），故0，1，…9．所以…9
