高考专题突破一高考中的不等式问题题型一含参数不等式的解法例1解关于x的不等式x2+ax+1>0(a∈R).解对于方程x2+ax+1=0,Δ=a2-4.(1)当Δ>0,即a>2或a<-2时,方程x2+ax+1=0有两个不等实根x1=,x2=,且x13的解集为R,则实数m的取值范围是__________.答案(-∞,-4)∪(2,+∞)解析依题意得,|x-1|+|x+m|≥|(x-1)-(x+m)|=|m+1|,即函数y=|x-1|+|x+m|的最小值是|m+1|,于是有|m+1|>3,m+1<-3或m+1>3,由此解得m<-4或m>2.因此实数m的取值范围是(-∞,-4)∪(2,+∞).题型二线性规划问题例2(2018·浙江五校联考)已知实数x,y满足约束条件且z=ax+y的最大值为16,则实数a=________,z的最小值为________.答案21解析如图,作出不等式组所表示的可行域(△ABC及其内部区域).目标函数z=ax+y对应直线ax+y-z=0的斜率k=-a.(1)当k∈(-∞,1],即-a≤1,a≥-1时,目标函数在点A处取得最大值,由解得A(5,6),故z的最大值为5a+6,即5a+6=16,解得a=2.(2)当k∈(1,+∞),即-a>1,a<-1时,目标函数在点C处取得最大值,由解得C(0,1),故z的最大值为0×a+1=1,不符合题意.综上,a=2.数形结合知,当直线z=2x+y经过点C时,z取得最小值,zmin=2×0+1=1.思维升华1.利用线性规划求目标函数的基本步骤为一画二移三求,其关键是准确作出可行域,理解目标函数的意义.2.常见的目标函数有(1)截距型:如z=-2x+y,z=,z=OP·OM(其中M(x,y)为区域内动点,P(-2,1)),等等.(2)距离型:如z=(x-2)2+y2,z=|2x-y|,等等.(3)斜率型:如z=,z=,z=,z=+=,等等.(4)二次曲线型:如z=xy,z=,z=+y2,等等.3.解题时要注意可行解是区域的所有点还是区域内的整点.跟踪训练2(1)(2018·湖州五校模拟)设实数x,y满足约束条件则z=2x-y的取值范围为()A.(-6,-1)B.(-8,-2)C.(-1,8)D.(-2,6)答案D解析方法一作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示.作出直线y=2x,平移直线,直线z=2x-y在点B(-1,0)处的取最小值为-2,在点C(3,0)处的取最大值为6,所以z=2x-y的取值范围为(-2,6).方法二三条直线两两联立求出的交点坐标分别是(1,2),(-1,0),(3,0),分别代入z=2x-y求值,得0,-2,6,所以z=2x-y的取值范围为(-2,6).(2)若x,y满足则不等式组表示的平面区域的面积为________,z=(x+1)2+(y-1)2的最小值为________.答案30解析作出表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示,则不等式组表示的平面区域的面积为×5×2+×10×5=30.z=(x+1)2+(y-1)2表示可行域内的点(x,y)与点M(-1,1)之间的距离的平方,数形结合易知,z=(x+1)2+(y-1)2的最小值为点M(-1,1)到直线2x-y=0的距离的平方,即zmin==.题型三基本不等式的应用例3(1)已知x2+4xy-3=0,其中x>0,y∈R,则x+y的最小值是()A.B.3C.1D.2答案A解析由x2+4xy-3=0,得y=,即有x+y=x+=. x>0,∴x+≥2,即x+y≥,当且仅当x=,即x=1,y=时,x+y取得最小值.(2)已知a>0,b>0,c>1,且a+b=1,则·c+的最小值为______.答案4+2解析 ===++2≥2+2=2+2,当且仅当即时等号成立,∴·c+≥2c+=2(c-1)++2≥2+2=4+2,当且仅当2(c-1)=,即c=1+时,等号成立.综上,所求最小值为4+2.思维升...