2013中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)例5如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．,图1动感体验请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，△PAM的形状在变化，分别双击按钮“P在B左侧”、“P在x轴上方”和“P在A右侧”，可以显示△PAM与△OAC相似的三个情景．双击按钮“第(3)题”，拖动点D在x轴上方的抛物线上运动，观察△DCA的形状和面积随D变化的图象，可以体验到，E是AC的中点时，△DCA的面积最大．思路点拨1．已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便．2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长．3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．4．把△DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA．满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为，代入点C的坐标（0，－2），解得．所以抛物线的解析式为．（2）设点P的坐标为．①如图2，当点P在x轴上方时，1＜x＜4，，．如果，那么．解得不合题意．如果，那么．解得．此时点P的坐标为（2，1）．②如图3，当点P在点A的右侧时，x＞4，，．解方程，得．此时点P的坐标为．解方程，得不合题意．③如图4，当点P在点B的左侧时，x＜1，，．解方程，得．此时点P的坐标为．解方程，得．此时点P与点O重合，不合题意．综上所述，符合条件的点P的坐标为（2，1）或或．图2图3图4（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为．设点D的横坐标为m，那么点D的坐标为，点E的坐标为．所以．因此．当时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）．图5图6考点伸展第（3）题也可以这样解：如图6，过D点构造矩形OAMN，那么△DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去△CDN和△ADM的面积．设点D的横坐标为（m，n），那么．由于，所以．例6如图1，△ABC中，AB＝5，AC＝3，cosA＝．D为射线BA上的点（点D不与点B重合），作DE//BC交射线CA于点E.．(1)若CE＝x，BD＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；(2)当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度；(3)当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由．图1备用图备用图动感体验请打开几何画板文件名“09闸北25”，拖动点D可以在射线BA上运动．双击按钮“第（2）题”，拖动点D可以体验到两圆可以外切一次，内切两次．双击按钮“第（3）题”，再分别双击按钮“DE为腰”和“DE为底边”，可以体验到，△DEF为等腰三角形．思路点拨1．先解读背景图，△ABC是等腰三角形，那么第（3）题中符合条件的△DEF也是等腰三角形．2．用含有x的式子表示BD、DE、MN是解答第（2）题的先决条件，注意点E的位置不同，DE、MN表示的形式分两种情况．3．求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符合题意．4．第（3）题按照DE为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题．满分解答（1）如图2，作BH⊥AC，垂足为点H．在Rt△ABH中，AB＝5，cosA＝，所以AH＝＝AC．所以BH垂直平分AC，△ABC为等腰三角形，AB＝CB＝5．因为DE//BC，所以，即．于是得到，（）．（2）如图3，图4，因为DE//BC，所以，，即，．因此，圆心距．图2图3图4在⊙M中，，在⊙N中，．①当两圆外切时，．解得或者．如图5，符合题意的解为，此时．②当两圆内切时，．当x＜6时，解得，如图6，此时E在CA的延长线上，；当x＞6时，解得，如图7，此时E在CA的延长线上，．图5图6图7（3）因为△ABC是等腰三角形，因此当△ABC与△DEF相似时，△DEF也是等腰三角形．如图8，当D、E、F为△ABC的三边的中点时，DE为等腰三角形DEF的腰，符合题意，此时BF＝2.5．根据对称性，当F在BC边上的高的垂足时，也符合题意...
