湖南师范大学附属中学高三数学总复习教案：算术平均数与几何平均数教材：算术平均数与几何平均数目的：要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“平均不等式”及其推导过程。过程：一、定理：如果，那么（当且仅当时取“=”）证明：1．指出定理适用范围：2．强调取“=”的条件二、定理：如果是正数，那么（当且仅当时取“=”）证明：∵∴即：当且仅当时注意：1．这个定理适用的范围：2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。三、推广：定理：如果，那么（当且仅当时取“=”）证明：∵1∵∴上式≥0从而指出：这里∵就不能保证推论：如果，那么（当且仅当时取“=”）证明：四、关于“平均数”的概念1．如果则：叫做这n个正数的算术平均数叫做这n个正数的几何平均数2．点题：算术平均数与几何平均数3．基本不等式：≥这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。4．的几何解释：以为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦DD’AB则2ABD’DCab从而而半径五、例一已知为两两不相等的实数，求证：证：∵以上三式相加：∴六、小结：算术平均数、几何平均数的概念基本不等式（即平均不等式）七、作业：P11-12练习1、2P12习题5.21--3补充：1．已知，分别求的范围(8,11)(3,6)(2,4)2．试比较与（作差>）3．求证：证：三式相加化简即得3
