教案授课教师：云南省昆明市第三中学李刘祥课题：点到直线的距离教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第二册（上）第七章第3节教学目标：(1)至少掌握点到直线的距离公式的一种推导方法，能用公式来求点到直线距离。(2)培养学生探究能力和由特殊到一般的研究问题的能力。(3)认识事物（知识）之间相互联系、互相转化的辩证法思想，培养学生转化的思想和综合应用知识分析问题解决问题的能力。(4)培养学生团队合作精神，培养学生个性品质，培养学生勇于探究的科学精神。教学重点：点到直线的距离公式推导及公式的应用教学难点：点到直线的距离公式的推导教学方法：启发引导法、讨论法学习方法：任务驱动下的研究性学习教学时间：45分钟教学过程：1.教师提出问题，引发认知冲突（约5分钟）问题：假定在直角坐标系上，已知一个定点P（x0,y0）和一条定直线l：Ax+By+C=0，那么如何求点P到直线l的距离d？请学生思考并回答。学生1：先过点P作直线l的垂线，垂足为Q，则|PQ|就是点P到直线l的距离d；然后用点斜式写出垂线方程，并与原直线方程联立方程组，此方程组的解就是点Q的坐标；最后利用两点间距离公式求出|PQ|。接着，教师用投影出示下列5道题(尝试性题组)，请5位学生上黑板练习（第（4）题请一位运算能力强的同学，其余学生在下面自己练习，每做完一题立即讲评）：(1)求P（1,2）到直线l：x=3的距离d;（答案：d=2）(2)求P（x0,y0）到直线l：By+C=0（B≠0）的距离d；（答案：）(3)求P（x0,y0）到直线l：Ax+C=0（A≠0）的距离d；（答案：）(4)求P（6,7）到直线l：3x-4y+5=0的距离d；（答案：d=1）(5)求P（x0,y0）到直线l：Ax+By+C=0（AB≠0）的距离d。第（1）容易、（2）和（3）题虽然含有字母参数，但由于直线的位置比较特殊，学生不难得出正确结论；第（4）题虽然运算量较大，但按照刚才学生1回答的方用心爱心专心法与步骤，也能顺利解出正确答案；第（5）题虽然思路清晰，但由于字母参数过多、运算量太大行不通。学生们陷入了困境。2．教师启发引导，学生走出困境（约8分钟）教师：根据以上5位学生的运算结果，你能得到什么启示？学生2：当直线的位置比较特殊（水平或竖直）时，点到直线的距离容易求得，而当直线是倾斜位置时则较难；含有多个字母时虽然想起来思路很自然，但具体操作起来因计算量很大而无法得出结果。教师：那么，练习（5）有没有运算量小一点的推导方法呢？我们能不能根据刚才的第（2）、（3）的启示，借助水平、竖直情形和平面几何知识来解决倾斜即一般情况呢？请同学们思考。学生3：能！如图1，过点P作x、y轴的垂线分别交直线l于S、R，则由三角形面积公式可得|PQ|=（|PR|·|PS|）/|RS|教师：|PR|怎么求？|PS|又怎么求？学生3：设R（x1,y0），则由Ax1+By0+C=0，得x1=—（By0+C）／A，∴|PR|=|x0-x1|=|Ax0+By0+C|／|A|；同理：|PS|=|Ax0+By0+C|／|B|。教师：|RS|怎么求？学生3：|RS|==（/|AB|）·|Ax0+By0+C|。教师：|PQ|结果是什么？学生3：|PQ|=。教师：公式的这种推导方法是否需要作补充说明？学生4：当A=0或B=0时，ΔPRS不存在，故应说明公式当A=0或B=0时是否适用？由（2）、（3）检验可知公式依然成立，即公式对任意直线都适用。3.教师提出问题，学生分组讨论（约10分钟）教师：推导点到直线的距离公式的方法不少。前面我们学了函数、三角函数、向量、不等式等数学知识，你能用所学过的知识从不同角度、采用不同方法来推导这个公式吗？请同学们先独立思考，然后在小组上进行讨论交流，由组长负责记录。10分钟后每组推选一名代表对本组找到的最好的一种推导方法通过实物投影进行“成果”交流。学生们积极探讨；教师来回巡视，回答各研究小组的询问……4.学生交流“成果”，教师点评小结（约16分钟）经过约十分钟的研讨，各小组都找到了新的推导方法。于是教师请4名代表依次上讲台（让准备成熟的先讲），借助实物投影介绍本组的“成果”。由于时间关系，每组只要求讲一种方法，用时不超过4分钟，且各组的方法不能重复。学生5：我们用的是“设而不求，整体代换”的数学思想。请看投影屏幕：用心爱心专心P(x0,y0)OxylSRdQ图1设Q的坐标为（x1,y1），...
