功和能(二)李仕才1．(2016·浙江10月学考·20)如图1甲所示，游乐场的过山车可以底朝上在竖直圆轨道上运行，可抽象为图乙的模型．倾角为45°的直轨道AB、半径R＝10m的光滑竖直圆轨道和倾角为37°的直轨道EF，分别通过水平光滑衔接轨道BC、C′E平滑连接，另有水平减速直轨道FG与EF平滑连接，EG间的水平距离l＝40m．现有质量m＝500kg的过山车，从高h＝40m处的A点静止下滑，经BCDC′EF最终停在G点．过山车与轨道AB、EF的动摩擦因数均为μ1＝0.2，与减速直轨道FG的动摩擦因数μ2＝0.75.过山车可视为质点，运动中不脱离轨道．求：(已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2)图1(1)过山车运动至圆轨道最低点C时的速度大小；(2)过山车运动至圆轨道最高点D时对轨道的作用力；(3)减速直轨道FG的长度x.答案(1)810m/s(2)7000N，方向竖直向上(3)30m解析(1)设过山车到达C点的速度为vC，由A点到C点，由动能定理得mgh－μ1mgcos45°·hsin45°＝12mvC2代入数据可得vC＝810m/s.(2)设过山车到达D点的速度为vD，由C点到D点，由机械能守恒定律得12mvC2＝2mgR＋12mvD2在D点，由牛顿第二定律得mg＋FD＝mvD2R联立并代入数据可得FD＝7000N由牛顿第三定律可知，过山车对轨道的作用力FD′＝7000N，方向竖直向上．(3)过山车从A点到G点，由动能定理可得mgh－mg(l－x)tan37°－μ1mgcos45°·hsin45°－μ1mgcos37°·l－xcos37°－μ2mgx＝0代入数据可得x＝30m2．(2018·台州中学第一次统练)如图2所示为一遥控电动赛车(可视为质点)和它的运动轨道示意图．假设在某次演示中，赛车从A位置由静止开始运动，经2s后关闭电动机，赛车继续前进至B点后水平飞出，赛车能从C点无碰撞地进入竖直平面内的圆形光滑轨道，D点和E点分别为圆形轨道的最高点和最低点．已知赛车在水平轨道AB段运动时受到的恒定阻力为0.4N，赛车质量为0.4kg，通电时赛车电动机的输出功率恒为2W，B、C两点间高度差为0.45m，C与圆心O的连线和竖直方向的夹角α＝37°，空气阻力忽略不计，g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：图2(1)赛车通过C点时的速度大小；(2)赛道AB的长度；(3)要使赛车能通过圆轨道最高点D后回到水平赛道EG，其半径需要满足什么条件．答案(1)5m/s(2)2m(3)0＜R≤2546m解析(1)赛车在B、C间做平抛运动，则竖直方向vy＝2gh＝3m/s.由图可知：vC＝vysin37°＝5m/s(2)赛车在B点的速度v0＝vCcos37°＝4m/s则由A→B，根据动能定理得：Pt－FflAB＝12mv02，得lAB＝2m.(3)当赛车恰好通过最高点D时，有：mg＝mvD2R从C到D，由动能定理得：－mgR(1＋cos37°)＝12mvD2－12mvC2，解得R＝2546m，所以轨道半径需满足0＜R≤2546m(可以不写0)．3．(2018·浙江省名校协作体上学期考试)如图3所示，质量m＝1kg的小物块静止放在粗糙水平桌面上，它与水平桌面间的动摩擦因数μ＝0.4，且与水平桌面边缘O点的距离s＝8m．在紧靠桌面边缘右侧固定了一个12圆弧挡板，半径R＝3m，圆心与桌面同高．以O点为原点建立平面直角坐标系．现用F＝8N的水平恒力拉动小物块，一段时间后撤去拉力，小物块最终水平抛出并击中挡板．(g取10m/s2)图3(1)若小物块恰能击中圆弧挡板最低点，求其离开O点时的动能大小；(2)在第(1)问中拉力F作用的时间；(3)若小物块在空中运动的时间为0.6s，求拉力F作用的距离．答案(1)7.5J(2)1588s(3)6516m解析(1)小物块离开O点后开始做平抛运动，故：R＝v0t，R＝12gt2，又EkO＝12mv02解得EkO＝7.5J；(2)由开始运动到小物块到达O点由动能定理得：F·x－μmgs＝12mv02，得x＝7916m由牛顿第二定律得F－μmg＝ma，得a＝4m/s2由x＝12at02，得t0＝1588s(3)小物块离开O点后开始做平抛运动，由下落时间可知下落距离y＝12gt′2，得y＝1.8m.①若小物块落到半圆的左半边，则平抛运动水平位移x1＝R－R2－y2＝0.6mv1＝x1t′＝1m/s由动能定理得F·L1－μmgs＝12mv12得L1＝6516m②若小物块落到半圆的右半边，同理可得v2＝9m/s由动能定理得F·L2－μmgs＝12mv22解得L2＝14516m>8m(舍去)．4．(2018·浙江4月学考·20)如图4所示，一轨道由半径为2m的四分之一竖直圆弧轨道AB和长度可调的水平直轨道BC在B点平滑连接而成．现有一质量为0.2kg的小球从A点无初速度释放...
