3.2等比数列的前n项和VIP免费

真题感悟·考点整合真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华归纳总结·思维升华真题感悟1.(2017·全国Ⅲ卷文)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列an2n＋1的前n项和.解(1)当n＝1时，a1＝2又因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，①故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，②①－②得(2n－1)an＝2，an＝22n－1，又a1＝2满足an＝22n－1，从而{an}的通项公式为an＝22n－1.(2)记an2n＋1的前n项和为Sn，由(1)知an2n＋1＝2(2n－1)(2n＋1)＝12n－1－12n＋1，则Sn＝1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝1－12n＋1＝2n2n＋1.真题感悟·考点整合真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华归纳总结·思维升华题型一：分组转化求和例1求和)()2()1()3(2naaan)532()534()532()2(21nn]211)-(2n[1617815413211)1(n例2Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0，a2n＋2an＝4Sn＋3.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项和.解(1)由a2n＋2an＝4Sn＋3，可知a2n＋1＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.两式相减可得a2n＋1－a2n＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即2(an＋1＋an)＝a2n＋1－a2n＝(an＋1＋an)(an＋1－an).由于an>0，可得an＋1－an＝2.又a21＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)，a1＝3.所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.(2)由an＝2n＋1可知bn＝1anan＋1＝1(2n＋1)(2n＋3)＝1212n＋1－12n＋3.设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1213－15＋15－17＋…＋12n＋1－12n＋3＝n3（2n＋3）.真题感悟·考点整合真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华归纳总结·思维升华例2Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0，a2n＋2an＝4Sn＋3.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项和.题型二：裂项相消法求和真题感悟·考点整合真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华归纳总结·思维升华尝试练习等差数列{an}中，a1＝3，公差d＝2，Sn为前n项和，求1S1＋1S2＋…＋1Sn.探究提高1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项.2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.【训练1】(2017·昆明诊断)已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1＋2a2＝5，4a23＝a2a6.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足b1＝2，且bn＋1＝bn＋an，求数列{bn}的通项公式；(3)设cn＝anbnbn＋1，求数列{cn}的前n项和为Tn.解(1)设等比数列{an}的公比为q，由4a23＝a2a6得4a23＝a24所以q2＝4，由条件可知q>0，故q＝2，由a1＋2a2＝5得a1＋2a1q＝5，所以a1＝1，故数列{an}的通项公式为an＝2n－1.(2)由bn＋1＝bn＋an得bn＋1－bn＝2n－1，故b2－b1＝20，b3－b2＝21，…，bn－bn－1＝2n－2，以上n－1个等式相加得bn－b1＝1＋21＋…＋2n－2＝1·（1－2n－1）1－2＝2n－1－1，由b1＝2，所以bn＝2n－1＋1.(3)cn＝anbnbn＋1＝bn＋1－bnbnbn＋1＝1bn－1bn＋1，所以Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝1b1－1b2＋1b2－1b3＋…＋1bn－1bn＋1＝1b1－1bn＋1＝12－12n＋1.真题感悟·考点整合真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华归纳总结·思维升华思维升华常用的裂项公式①若{an}是等差数列，则1anan＋1＝1d1an－1an＋1，1anan＋2＝12d1an－1an＋2；②1nn＋1＝1n－1n＋1，1nn＋k＝1k1n－1n＋k；③12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1；④1nn＋1n＋2＝121nn＋1－1n＋1n＋2；⑤1n＋n＋1＝n＋1－n，1n＋n＋k＝1k(n＋k...