第1讲-等差数列与等比数列

第 1 讲 等差数列与等比数列高考定位 1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，常常以选择题、填空题的形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下.真 题 感 悟1.(2024·全国Ⅰ卷)记 Sn为等差数列{an}的前 n 项和.已知 S4＝0，a5＝5，则( )A.an＝2n－5 B.an＝3n－10C.Sn＝2n2－8n D.Sn＝n2－2n解析 设首项为 a1，公差为 d.由 S4＝0，a5＝5 可得解得所以 an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝n×(－3)＋×2＝n2－4n.答案 A2.(2024·全国Ⅱ卷)记 Sn为等比数列{an}的前 n 项和.若 a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝( )A.2n－1 B.2－21－nC.2－2n－1 D.21－n－1解析 法一 设等比数列{an}的公比为 q，则 q＝＝＝2.由 a5－a3＝a1q4－a1q2＝12a1＝12 得 a1＝1.所以 an＝a1qn－1＝2n－1，Sn＝＝2n－1，所以＝＝2－21－n.法二 设等比数列{an}的公比为 q，则得＝q＝2.将 q＝2 代入①，解得 a3＝4.所以 a1＝＝1，下同法一.答案 B3.(2024·全国Ⅰ卷)记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，若 a1＝1，S3＝，则 S4＝________.解析 设等比数列{an}的公比为 q，则 an＝a1qn－1＝qn－1. a1＝1，S3＝，∴a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝，则 4q2＋4q＋1＝0，∴q＝－，∴S4＝＝.答案 4.(2024·全国Ⅱ卷)已知数列{an}和{bn}满足 a1＝1，b1＝0，4an ＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4.(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；(2)求{an}和{bn}的通项公式.(1)证明 由题设得 4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即 an＋1＋bn＋1＝(an＋bn).又因为 a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为 1，公比为的等比数列.由题设得 4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即 an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.又因为 a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为 1，公差为 2 的等差数列.(2)解 由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1，所以 an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－，bn＝[(an＋bn)－(an－bn)]＝－n＋.考 点 整 合1.等差数列(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d；(2)求和公式：Sn＝＝na1＋d；(3)常用性质：① 若 m，n，p，q∈N*，且 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq；②an＝am＋(n－m)d；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列.2.等比数列(1)通项公式：an＝a1qn－1(q≠0)；(2)求和公式：q＝1，Sn＝na1；q≠1，Sn＝＝；(3)常用性质：① 若 m，n，p，q∈N*，且 m＋n＝p＋q，则 am·an＝ap·aq；②an＝am·q...