1圆的综合（一）、知识要点1、所给条件为特殊角或者普通角的三角函数时；(1)特殊角问题或者锐角三角函数问题，必须有直角三角形才行，如果题目条件中给的特殊角并没有放入直角三角形中时，需要构造直角三角形。构造圆中的直角三角形，主要有以下四种类型：①利用垂径定理；②直接作垂线构造直角三角形；α③构造所对的圆周角；④连接圆心和切点；Oα(2)另外，在解题时，还应该掌握的一个技巧就是，利用同弧或等弧上的圆周角相等，把不在直角三角形的角，等量代换转移进直角三角形中.在圆中，倒角的技巧有如下图几种常见的情形：半径相等12O圆周角=圆周角O12圆心角=2圆周角12O弦切角=圆周角O21射影定理模型O12综合利用各种方法OαOOα22、所给条件为线段长度、或者线段的倍分关系时；(1)因为圆中能产生很多直角三角形，所以可以考虑利用勾股定理来计算线段长度，在利用勾股定理来计算线段长度时，特别是在求半径时，经常会利用半径来表示其他线段的长度，常见情形如下；O3r-2r26r6-r2O(2)圆中能产生很多相似三角形，所以经常也会利用相似三角形对应边成比例来计算线段长度，常见的圆中相似情形如下：△ADE∽△ACBEDCBA△ADE∽△BCEEDCBA△ABD∽△CAD∽△CBACODAB△ABC∽△ADB∽△BDCBODAC△ABO∽△ADB∽△BDODOCBA△ABC∽△OBDODCBA二、典型例题3能力提升类例1如图，⊙O的直径AB与弦EF相交于点P，交角为45°，若228PEPF，求直径AB。评析：解答此题需注意应用数形结合的思想，熟练运用勾股定理和完全平方公式。例2如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q．若QPQO，求QCQA的值。评析：本题考查了相交弦定理，即“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被该点所分得的两线段的长的乘积相等”。熟记并灵活应用定理是解答本题的关键。综合运用类例3如图，已知直径与等边三角形ABC的高相等的圆与三角形的AB边和BC边相切于点D和E，与AC边相交于点F和G，求∠DEF的度数。例4已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线AM、BN4分别交于P、Q两点，PM、QN的中点分别为E、F。求证：EF∥AB思维拓展类例5在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM∥x轴（如图所示）．点B与点A关于原点对称，直线y＝x＋b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，连结OD．（1）求b的值和点D的坐标；（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的⊙P与⊙O外切，求⊙O的半径。评析：本题考查了运用待定系数法求函数解析式，同学们注意到分类讨论是解决本题的关键。例6已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点．以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C；以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中5点为M．求证：MP分别与⊙A和⊙B相切。评析：这道题考查了相切两圆的性质和射影定理的应用，以及中位线的知识，对于这些重点知识，同学们应熟练掌握。总结：一、思想方法总结数形结合思想：将数与形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思想方法，特别是几何图形的直观性，能收到事半功倍的效果。转化思想：能将复杂图形转化为简单图形，将圆的有关计算问题转化为三角形、四边形的问题来解决。分类讨论思想：圆的有关概念、圆周角的有关求值及直线和圆、圆和圆的位置关系的讨论等问题均应用了这一思想。方程思想：在相交弦定理、切割线定理及弧长公式中，已知其他量，求一个量，运用了方程的思想。二、与圆有关的辅助线的添加规律：遇直径，作直径上的圆周角；遇切线，作过切点的半径或连结圆上某一点构成弦切角；证明圆周角相等，常用同弧上的圆心角过渡或作同弧上的圆周角；求弦长、弦心距、半径，常作垂直于弦的半径，连结圆心和弦的端点构造直角三角形；证明线段等积或成比例，一般构造相交弦、相交割线或相似三角形；遇到四个点在同一圆周上，要考虑到顺次连结四点构成圆内接四边形，再运用其性质解题；遇到圆外切三角形、多边形，应注意到切线长定理的应用。遇到两圆相交，添加公共弦或连心线，特别是公共弦，它在相交的两圆中起着桥梁...
