1减少解析几何运算量的若干方法在解决有些解析几何问题时，如果方法选择不当，往往导致计算量过大，如果不具备较高的解几运算能力，就不易得到正确的运算结果。那么如何正确地选择方法，减少解析几何题的计算量呢？下面介绍几种减少计算量的常用方法。一、回归定义，以简驭繁圆锥曲线的许多性质是由定义派生出来的。解题时，应善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合的思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量大为简化，使解题构筑在较高的水平上。例1、在面积为1的ΔPMN中，tg∠PMN=21,tg∠2MNP,建立适当的坐标系，求以M、N为焦点且过点P的椭圆方程分析：在该题的题设条件中，其实是给出了ΔPMN的两内角的大小及它的面积。因此我们应考虑如何应用平几知识和椭圆定义将问题解决。解：建立如图1所示的坐标系，设所求的椭圆方程为12222byax，则由椭圆定义有PNPMa2，MNc2，过点P向x轴作垂线，垂足为A，tg∠2MNP，tg∠2PNA。由平面几何知识有:.,121,2,21MNANAMPAMNANPAMAPA.33,334,3,332ANAMMNPA.315,3152PNPM152PNPMa,,215a4152a，32MNc，23c，3222cab。所求的椭圆方程为1315422yx说明：在上述解题过程中，PMPN是所求椭圆的长轴长，它是减轻本题运算量的关键。2例2、长度为a的线段AB的两端点在抛物线2x=2py(a≥2p>0)上运动，以AB的中点C为圆心作圆和抛物线的准线相切，求圆的最小半径分析:这里其实就是要求定长弦AB的中点C到准线的最小距离。由于AB中点到准线的距离等于AB两端点到准线的距离的算术平均值，所以问题就进一步转化为求A、B两点到准线距离之和的最小值。由抛物线的定义知：A、B两点到准线的距离分别等于它们到焦点的距离，所以当线段A、B过焦点时，A、B两点到焦点的距离之和取得最小值a，这时A、B两点到准线的距离之和也取得最小值a，所以点C到准线的距离取得最小值2a。解：如图2，过弦AB的两端分别作准线的垂线，垂足为G、H,又设圆C与抛物线的准线切于D,设抛物线的焦点F,连CD、AF、BF。由抛物线的定义，AFAG，且.BFBHBHAGCD21BFAF21≥AB2121a。上式中的等号当且仅当AB过焦点F时成立。所以圆C的最小半径是21a.说明：因为过抛物线焦点的弦中，弦长最小的是通径（即过焦点且与对称轴垂直的弦），由于通径长为p2，所以抛物线的定长弦的长度a大于等于p2时，本例的上述解法才成立，如果pa2时，弦AB就不可能经过抛物线的焦点，这时应该是当AB与y轴垂直时，AB中点C到准线的距离最小。设AB所在直线方程为my，将它代入抛物线方程pyx22，得：pmx22，∴pmx2，∴apmAB22∴pam82，∴),0(mC，故点C到准线py的距离为pap82。所以这时圆C的最小半径为pap82例3、设ABC是曲线1xy上三点，求证：△ABC的垂心00,yxH也在该曲线上。分析：证垂心在曲线1xy上，故只需求00yx之值，而无需求0x、0y。解：111,xxA、221,xxB、331,xxC。则,132xxkBC.32xxkAH从而知:AH11132xxxxxy同理，:BH.212132xxxxxy图23故有20132010321011xxxxxyxxxxxy413102203211032101yxxxxxxxxxxxyx，43并消去321xxx得：2001102211xxyxxxyx120012xxyxxx21xx100yx二、设而不求，整体运算在某些解析几何问题中，灵活把握曲线方程的特点，采用设而不求、整体代入、整体运算等方法，常可以简化运算过程，提高解题速度，并从中感到整体思维的和谐美。例4、椭圆141622yx上有两点P、Q，O是原点，若OP、OQ斜率之积为41。（1）求证：|OP|2+|OQ|2为定值。（2）求PQ的中点M的轨迹方程。解：（1）设P、Q的两点坐标分别为11,yxP、Q22,yx,P、Q分别在椭圆上，且41OQOPKK，.41,1416,1416221122222121xyxyyxyx3.42,1641,164212122222121xxyyxyxy21得4,1616162221222122221xxxxyy（3）代入（4）得162221xx，（1）+（2）得441822212221xxyy22OQOP2022222121yxyx。（2）设P、Q的中点M的坐标为Myx,，则有xxx221，yyy221，（1）+（2）+（3）2得221222124yyyy212221232xxxx，221221324xxyy。3216422yx即：12822yx，PQ中点M的轨迹方程为12822yx三、充分运用图形几何性质，简化（或避免）计算解析几何中，曲线或图形都具有某些特殊的几何性质，若能发掘并充分运用这些几何性质，往往能简化运算或避免运算。例5、已知圆42:22yxO，动圆轴右侧在yM...
