1/10第二节复数的概念与运算一、课标考纲要求1.复数的概念（1）理解复数的基本概念（2）理解复数相等的充要条件（3）了解复数的代数表示法及其几何意义2.复数的四则运算（1）会进行复数代数形式的四则运算（2）了解复数代数形式的加、减运算的几何意义二、基础知识梳理1．复数的基本概念(1).概念：形如abi（abR，）的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集.通常用C表示.(2).虚数单位为i：①21i.②i和实数在一起，服从实数的运算律(3)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面,x轴称为实轴，y轴称为虚轴，实轴上的点都表示实数,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数;各象限内的点都表示虚数.(4).复数的几种形式：①.代数形式：zabi（abR，），其中a叫实部记作Re(z)，b叫虚部记作Im(z)；②几何形式:将(,)ab作为复平面内点的坐标，那么z与复平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与复平面内所有的点构成的集合之间的一一映射;因此复数可以用点来表示,点称为复数的几何形式.即(,)zab③将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量,因此复平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式.即zOZ(5).复数的分类：①.实数b=0,即za②.虚数0b③.纯虚数a=0且0b,即zbi(6).共轭复数:若两个复数的实部相等,虚部互为相反数,则称这两个复数叫做互为共轭复数,复数z的共轭复数用z表示,即zabi（abR，）,则zabi（abR，）(7).两个复数相等的定义：abicdiac且bd（其中abcdR，，，，）;特别地00abiab2.复数的基本运算(1).复数的运算法则：①代数形式:运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，特别注意:复数的除法运算,运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分化为实数；即:abicdiacbdi;()()abicdiacbdadbci22()()abicdiabiacbdbcadicdicdicdicd②向量形式:加、减法满足平行四边形和三角形法则,若为坐标满足向量的坐标运算.(2).运算定律:2/10①复数的加法满足交换律、结合律;即123,,,zzzC都有1221123123;zzzzzzZzzz②复数的乘法满足交换律、结合律、分配律;即123,,,zzzC12211231231231323;;zzzzzzZzzzzzZzzzz(3)距离:①模:22zab;②复平面内的两点间距离公式：21zzd.3、复数的性质(1).共轭复数的性质：zz2121zzzzazz2，i2bzz（za+bi）22||||zzzz2121zzzz2121zzzz2121zzzz（02z）nnzz)(特别地:zRzz;非零复数z是纯虚数0zz注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的](2).模运算的性质111212222;;(0);nnzzzzzzzzzzzzz;11;zzz特别地:2222zzzzzz(3).复数的乘方：①)(...Nnzzzzznn;②对任何z，21,zzC及Nnm,有nnnnmnmnmnmzzzzzzzzz2121)(,)(,注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如1,142ii若由11)(212142ii就会得到11的错误结论.(4).绝对值不等式：设21zz，是不等于零的复数，则①212121zzzzzz.左边取等号的条件是），且（012Rzz，右边取等号的条件是），（012Rzz.②212121zzzzzz.左边取等号的条件是），（012Rzz，右边取等号的条件是），（012Rzz.注：12233411nnnzzzzzzzzzz.4.复数常用的结论：(1).ni周期为4;即4142434,1,,1nnnniiiiii;)(,0321Zniiiinnnn3/10(2).211(1)2,,11iiiiiiii(3).若是1的立方虚数根，即i2321，则5.易错点(1).两个复数不能比较大小;当且仅当两个复数全为实数时,才能比较大小.注：①若21,zz为复数，则1若021zz，则21zz.（×）[21,zz为复数，而不是实数]2若21zz，则021zz.（√）②若Ccba,,，则0)()()(222accbba是cba的必要不充分条件.（当22)(iba，0)(,1)(22accb时，上式成立）(2).在实数集成立的2||xx.当x为虚数时，2||xx，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.即在复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于x的一元二次方程)0(02acbxax时，应注意下述问题：①当Rcba,,时，若＞0，则有二不等实数根abx22,1；若=0，则有二相等实数根abx22,1；若＜0，则有二相等复数根aibx2||2,1（2,1x为共轭复数）.②当cba,,不全为实数时，不能用方程根的情况.③不论cba,,为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.三、高考真题在线题型一、复数的概念例1．(2009·福建理13)复数2(1)ii的实部是.【解析】2(1)1iii,所...
