多目标线性规划的若干解法及MATLAB实现一．多目标线性规划模型多目标线性规划有着两个和两个以上的目标函数,且目标函数和约束条件全是线性函数,其数学模型表示为：11111221221122221122maxnnnnrrrrnnzcxcxcxzcxcxcxzcxcxcx（1）约束条件为：1111221121122222112212,,,0nnnnmmmnnmnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxbxxx（2）若（1）式中只有一个1122iiiinnzcxcxcx，则该问题为典型的单目标线性规划。我们记:()ijmnAa,()ijrnCc,12(,,,)Tmbbbb,12(,,,)Tnxxxx，12(,,,)TrZZZZ.则上述多目标线性规划可用矩阵形式表示为:maxZCx约束条件：0Axbx（3）二．MATLAB优化工具箱常用函数[3]在MATLAB软件中，有几个专门求解最优化问题的函数，如求线性规划问题的linprog、求有约束非线性函数的fmincon、求最大最小化问题的fminimax、求多目标达到问题的fgoalattain等,它们的调用形式分别为：①.[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)f为目标函数系数,A,b为不等式约束的系数,Aeq,beq为等式约束系数,lb,ub为x的下限和上限,fval求解的x所对应的值。算法原理：单纯形法的改进方法投影法②.[x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub）fun为目标函数的M函数,x0为初值,A,b为不等式约束的系数,Aeq,beq为等式约束系数,lb,ub为x的下限和上限,fval求解的x所对应的值。算法原理：基于K-T（Kuhn-Tucker）方程解的方法。③.[x,fval]=fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)fun为目标函数的M函数,x0为初值,A,b为不等式约束的系数,Aeq,beq为等式约束系数,lb,ub为x的下限和上限,fval求解的x所对应的值。算法原理：序列二次规划法。④.[x,fval]=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub)fun为目标函数的M函数,x0为初值,goal变量为目标函数希望达到的向量值,wight参数指定目标函数间的权重,A,b为不等式约束的系数,Aeq,beq为等式约束系数,lb,ub为x的下限和上限,fval求解的x所对应的值。算法原理：目标达到法。三．多目标线性规划的求解方法及MATLAB实现4.1理想点法在（3）中，先求解r个单目标问题：min(),1,2,jxDZxjr，设其最优值为*jZ，称****12(,,)rZZZZ为值域中的一个理想点，因为一般很难达到。于是，在期望的某种度量之下，寻求距离*Z最近的Z作为近似值。一种最直接的方法是最短距离理想点法，构造评价函数*21()[]riiiZZZ，然后极小化[()]Zx，即求解*21min[()][()]riixDiZxZxZ，并将它的最优解*x作为（3）在这种意义下的“最优解”。例1：利用理想点法求解112212121212max()32max()43.2318210,0fxxxfxxxstxxxxxx解：先分别对单目标求解：①求解1()fx最优解的MATLAB程序为>>f=[3;-2];A=[2,3;2,1];b=[18;10];lb=[0;0];>>[x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb)结果输出为：x=0.00006.0000fval=-12.0000即最优解为12.②求解2()fx最优解的MATLAB程序为>>f=[-4;-3];A=[2,3;2,1];b=[18;10];lb=[0;0];>>[x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb)结果输出为：x=3.00004.0000fval=-24.0000即最优解为24.于是得到理想点：（12，24）.然后求如下模型的最优解2212121212min[()][()12][()24].2318210,0xDfxfxfxstxxxxxxMATLAB程序如下：>>A=[2,3;2,1];b=[18;10];x0=[1;1];lb=[0;0];>>x=fmincon('((-3*x(1)+2*x(2)-12)^2+(4*x(1)+3*x(2)-24)^2)^(1/2)',x0,A,b,[],[],lb,[])结果输出为：x=0.52685.6488则对应的目标值分别为1()9.7172fx,2()19.0536fx.4.2线性加权和法在具有多个指标的问题中，人们总希望对那些相对重要的指标给予较大的权系数，因而将多目标向量问题转化为所有目标的加权求和的标量问题，基于这个现实，构造如下评价函数，即1min()()riixDiZxZx将它的最优解*x作为（3）在线性加权和意义下的“最优解”。（i为加权因子，其选取的方法很多，有专家打分法、容限法和加权因子分解法等）.例2：对例1进行线性加权和法求解。（权系数分别取10.5，20.5）解：构造如下评价函数，即求如下模型的最优解。1212121212min{0.5(32)0.5(43)}.2318210,0xxxxstxxxxxxMATLAB程序如下：>>f=[-0.5;-2.5;A=[2,3;2,1];b=[18;10];lb=[0;0];>>x=linprog(f,A,b,[],[],lb)结果输出为：x=0.00006.0000则对应的目标值分别为1()12fx,2()18fx.4.3最大最小法在决...
