前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用．从条件值较小的数开始，找出其中规律，或找出其中的递推数量关系，归纳出一般情况下的数量关系．【例1】如图所示，在2×2方格中，画一条直线最多穿过3个方格；在3×3方格中，画一条直线最多穿过5个方可知；那么在5×5方格中，画一条直线，最多穿过个方格。【考点】计数之归纳法【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第14题，6分【解析】边长每多1，穿过的方格多2，那么5×5的最多穿过3+2+2+2=9个方格【答案】9【例2】一条直线分一个平面为两部分．两条直线最多分这个平面为四部分．问5条直线最多分这个平面为多少部分?【考点】计数之归纳法【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：我们可以在纸上试着画出1条直线，2条直线，3条直线，⋯⋯时的情形，于是得到下表：由上表已知5条直线最多可将这个平面分成16个部分，并且不难知晓，当有n条直线时，最多可将平面分成2+2+3+4+⋯+n=12nn+1个部分．方法二：如果已有k条直线，再增加一条直线，这条直线与前k条直线的交点至多k个，因而至多被分成k+1段，每一段将原有的部分分成两个部分，所以至多增加k+1个部分．于是3条直线至多将平面分为4+3=7个部分，4条直线至多将平面分为7+4=11个部分，5条直线至多将平面分为11+5=16个部分．一般的有k条直线最多将平面分成：1+1+2+⋯+k=12kk+1个部分，所以五条直线可以分平面为16个部分．例题精讲教学目标7-6-1.计数之归纳法【答案】16【巩固】平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分？【考点】计数之归纳法【难度】4星【题型】解答【解析】假设用ak表示k条直线最多能把圆的内部分成的部分数，这里k＝0，1，2，⋯⋯a0＝1a1=a0+1＝2a2=a1＋2=4a3=a2＋3=7a4=a3+4＝11⋯⋯故5条直线可以把圆分成16部分，100条直线可以把圆分成5051部分【答案】5051部分【例3】平面上10个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域？【考点】计数之归纳法【难度】4星【题型】解答【解析】先考虑最简单的情形．为了叙述方便，设平面上k个圆最多能将平面分割成ka个部分．141312111098765432187652134431221从图中可以看出，12a，24221a，38422a，414823a，⋯⋯可以发现ka满足下列关系式：121kkaak．实际上，当平面上的(1k)个圆把平面分成1ka个区域时，如果再在平面上出现第k个圆，为了保证划分平面的区域尽可能多，新添的第k个圆不能通过平面上前1k个圆之间的交点．这样，第k个圆与前面1k个圆共产生2(1)k个交点，如下图：这2(1)k个交点把第k个圆分成了2(1)k段圆弧，而这2(1)k段圆弧中的每一段都将所在的区域一分为二，所以也就是整个平面的区域数增加了2(1)k个部分．所以，121kkaak．那么，10987292829272829aaaa12122...272829a2212...78992．故10个圆最多能将平面分成92部分．【答案】92【例4】10个三角形最多将平面分成几个部分？【考点】计数之归纳法【难度】4星【题型】解答【解析】设n个三角形最多将平面分成na个部分．1n时，12a；2n时，第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有2个交点，三条边与第一个三角形最多有236（个）交点．这6个交点将第二个三角形的周边分成了6段，这6段中的每一段都将原来的每一个部分分成2个部分，从而平面也增加了6个部分，即2223a．3n时，第三个三角形与前面两个三角形最多有4312（个）交点，从而平面也增加了12个部分，即：322343a．⋯⋯一般地，第n个三角形与前面1n个三角形最多有213n个交点，从而平面也增加213n个部分，故222343213224213332nannnn；特别地，当10n时，2103103102272a，即10个三角形最多把平面分成272个部分．【答案】272【例5】一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分？【考点】计数之归纳法【难度】4星【题型】解答【解析】一个长方形把平面分成两部分．第二个长方形的每一条边至多把第一个长方形...
