常用的统计量抽样分布一．正态分布1.niiXnX11EX2.212)(11niiXXnS][11212niiXnXnDX3.定理：X～),(2N，nXXX,,,21为X的样本，则(1).X～),(2nN，(2).22)1(Sn～)1(2n,(3).X与2S相互独立。二．2分布1.定义设nXXX,,,21独立同分布，且～)1,0(N，则)(~2122nXnii2.性质：(1).若X～)(12n，Y～)(22n，且X,Y独立，则X+Y～)(212nn。(2).若X～)(2n，则nEX，2DXn。三．t分布1.定义设X～)1,0(N,Y～)(2n，且X,Y独立，则nYXT～)(nt。2.定理：设nXXX,,,21独立同分布，且～),(2N，则nSXSnX)(1)1()(22nSnnX～)1(nt（因为nX～)1,0(N，22)1(Sn～)1(2n）。3.定理：设1,,,21nXXX为总体X～),(21N的样本，1,,,21nYYY为总体Y～),(22N的样本，且YX,独立，则212111)()(nnSYXw～)2(21nnt，其中2)1()1(212222112nnSnSnSw。证：因为2211)1(Sn～)1(12n,2222)1(Sn～)1(22n，所以2222211)1()1(SnSn～)2(212nn；又X～),(121nN，Y～),(222nN，所以XY～),(221221nnN，所以212111)()(nnYX～)1,0(N，所以212111)()(nnSYXw212111)()(nnYX/)2/()1()1(212222211nnSnSn～)2(21nnt。四．F分布1.定义设U～)(12n,V～)(22n,且VU,独立，则21nVnUF～),(21nnF。2.定理：设F～),(21nnF，则F1～),(12nnF3.定理：设1,,,21nXXX为总体X～),(211N的样本，1,,,21nYYY为总体Y～),(222N的样本，且YX,独立，则)1,1(~//2122222121nnFSSF。常用的统计量抽样分布示例例1设2521XXX，，是来自总体1~2X的一个样本，则251iiX服从252分布；例2设随机变量21,XX,3X相互独立，1X～)1,0(N,2X～)21,0(N,3X～)31,0(N，则23222132XXX服从)3(2分布。例3设总体X服从)2,0(2N，而1521,,,XXX为来自总体X的简单随机样本,则随机变量)(22152112102221xXXXXY服从)5,10(F分布。例4设随机变量YX,相互独立且都服从)3,0(2N，而921,,,XXX和921,,,YYY为分别来自总体X和Y的简单随机样本,则统计量2921921YYXXXU服从)9(t分布。例5设nXXX,,,21)2(n为来自总体)1,0(N的简单随机样本,X是样本均值，2S是样本方差，则D.(A).Xn～)1,0(N(B)2nS～)(2n(C).SXn)1(～)1(nt(D)niiXXn2221)1(～)1,1(nF解：niiXXn2221)1(niinXX22211/1/～)1,1(nF例6设总体X服从),(21N，总体Y服从),(22N，1,,,21nXXX为来自总体X的简单随机样本，2,,,21nYYY为来自总体Y的简单随机样本，则解：原式2121)([211niiXXEnn])(212niiYY又221)(1niiXX221)1(Sn～)1(12n,故22122()[]1niiXXEn，从而12111()11niiXXEnn,同理22122()11niiYYEnn,所以原式=2。例7.设nXXX,,,21)2(n为来自总体),0(2N的简单随机样本,X是样本均值，记XXYii，ni,,2,1。求：(1).iY的方差iDY，ni,,2,1；(2).),(1nYYCov；(3)}0{1nYYP。(4）若21)(nYYc是2的无偏估计，求c的值。解：（1）iDY)(XXDi（iXn)11(与nikkkXn,11独立）]1)11[(,1nikkkiXnXnD222221)1(1)11(nnnnn，ni,,2,1。(2)0)(11XXEEYEYn,1X,nX独立，)(1nXXE01nEXEX而)(XD][21nXXXDn21n)(1nDXDX21n)}()()({1)(121211nXXEXXEXEnXXE2211)(1nXEn，所以),(1nYYCov)(XD21n21n=21n（3）nYY1)()(1XXXXn121222niinXnXnnXnn上式是相互独立的正态随机变量的线性组合，所以nYY1服从正态分布，由于,0)(1nYYE所以5.0}0{1nYYP。（4）])([21nYYcE)(1nYYcD)],(2[11nnYYCovDYDYc2]211[nnnnnc2)2(2cnn2，故)2(2nnc。
