有理数与无理数一、专题简析理解两个数学概念，在学习数学概念的同时了解一些数学史知识，深化概念的认识，能依据概念进行分析判断，根据概念自觉发现结论并解决一些问题。二、阅读与探究数学上，有理数是指一大类数，这个名称经过以讹传讹，已经积非成是了，较恰当的称呼为“可比数”，凡是能精确表示为一个整数和一个正整数的比的数都是有理数，例如,,也是有理数，整数也可以看作是分母为的分数。…，…是有理数，因为…，…小数部分是有限的或是无限循环的数都是有理数，分数都是有理数，分数本身就是一种比的记法。有限小数都可以看作是分母是整十、整百、整千、整万……的分数；无限循环小数都可以等值于一对整数的比，而且可以找到唯一的一对互质的整数。读后归纳：整数、分数、有限小数、无限循环小数都是有理数。对应的，还有一类数叫无理数，凡是不能精确表示为一个整数和一个正整数的比的数都是无理数（其实应该称作“不可比数”更恰当），无理数的典型特征是小数部分是无限不循环的。依据材料解决问题1、分别将下列数写成两个互质的整数比（写出分数形式）13,5,0.25,3.14,0.024,0.33333,2.11111,0.245245245245245,0.523归纳：变式：0.033333……,0.235如果表示?4、①当n=10,100,其和是有理数吗？②当n趋向于无穷大10尚悟深思生智道由悟达1000时，丄+丄+丄+丄+…+丄0!1!2!3!n!1111+++…+—1!2!3!n!其和还是有理数吗？尚悟深思生智道由悟达尚悟深思生智道由悟达财主t?了梓”结谆3次.科事为卜I皿戦一年:詢期的本利和足土1+1-=2L37037…元,结BI次*1死戟到一年时迷|I+M=2.J4J-IU…元*艸主述患.一年姑翳1000iJc.心利息足；/・\arnt迖幺究的数.年烫脊足发財了.叮足、urini算”一元钱结熬LOOO玄，年终注的金麵只有I1DM=2.71£592…元.迂令财上火夷所望”他以为「蜡帐决数越多，利但也就堪怅掘越快.M主脱本不知道，|“丄「妁伯址随n的増大而增大，但境加的数额极其缓慢；井且，不菅专陣爭少鹉逵本带利的总和半可能渥破一牛上賦数学家瞰拉世［"：］槪痕记作匕F删助自然対灯时槪.证法1：尾数证明法.假设忑是一个有溟数，即"可以表示■为一个分数为形弍近=+其中g巧=1,且口与占都是正整数.则£=羽、由于完全平方数夕的尾数只能是S1.4.「6、9中的一个，因此2夕的尾数只能是（h2.8中的一个.因为，=2眉所以，与2护的尾数都是0.・囲此护的尾数只能是0或5,E1此口与占有公囲数5,与（"）=1矛盾！IH此返是无理数-这个证法可以证明彼开方数的屋数是2、3、J$的平方根琴是无理数，证法2：奇偶分析法假设V2=|.其中（询=1,且口与力都是正整数.则以=2夕.可知口是偶数，设42匚,则占=步，可知b也是偶数，因此G占都是偶数，这与梓b）=l矛盾！IS此血是无理数.希帕索斯就是用这种方法证明了血不是有理数，动摇了毕迖哥拉斯学派的"万物皆数（任何数都可表示成整数之比尸的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底.111L42l+3l尚悟深思生智道由悟达证法屁构图法■,以上诸多证法的关键之处在于，证明护=2,没有正整数解=若不然,可以认应为边构造正方形（氐S）ja为a2=2b\因此團中空白诽分的面积等于中间黒色阴影部分的面积.它们都是正方形，这就找到了一组更小的正整数（口上）满足无穷通降下去.这个过程可以无限进行，矛盾！正方形ABGD与正方形AEFGAE=BD正牙形ABCD与_£方形OPFQ全等自然律之美“自然律”是e及由e经过一定变换和复合的形式。e是“自然律”的精髓，在数学上它是函数：（1+1/x）x当X趋近无穷时的极限。人们在研究一些实际问题，如物体的冷却、细胞的繁殖、放射性元素的衰变时，都要研究（1+1/x）x，当X趋近无穷时的极限。正是这种从无限变化中获得的有限，从两个相反方向发展（当X趋向正无穷大的时，上式的极限等于e=2.71828……，当X趋向负无穷大时候，上式的结果也等于e=2.71828……）得来的共同形式，充分体现了宇宙的形成、发展及衰亡的最本质的东西。n,在我国叫又环率、圆率、圆周率等。最先得出n«3.14的是希腊的阿基米德（约公元前240年），最先给出n小数后面四位准确值的是希腊人托勒密（约公元前150年），最早算出n小数后七位准确值的是我国的祖冲之（约480年）...
