实用标准文案精彩文档习题6-1一等直杆沿纵向以等速v向右运动，求下列情况中杆的自由振动∶(1)杆的左端突然固定；杆的右端突然固定；杆的中点突然固定。解；(1)杆的左端突然固定；杆的初始条件为：0,00uxux,0uxV由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52iiapil,⋯,...3,2,1i,x2lisinDx)U~ii（由归一化条件20sin12liixADdxl得2iDAl即正则振型为,...3,2,1i,x2lisinAl2x)U~i（由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为00sin2liiiAVDxdxl2ilAVDi00i，i=1，3，5，⋯由式（８－４０）得0siniiiiptp，进而有：t2laisin2lxisini1a8Vltsinpai2li2lAVD2lxisinD)t(U~)t,x(u,...3,1i22ii,...3,1iii,...3,1ii(2)杆的右端突然固定；杆的初始条件为：0,00uxux,0uxV由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52iiapil,⋯...5,3,1i,x2licosCx)U~ii（由归一化条件1)2cos(20dxlxiCAil得AlCi2实用标准文案精彩文档即正则振型为,...5,3,1i,x2licosAl2x)U~i（由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为liiiiilAVCdxlxiAVC021)1(22cos)0(00i，i=1，3，5，⋯由式（８－４０）得0siniiiiptp，进而有：t2laisin2lxicosi1)1(a8Vltsinpai2li2lAVD2lxisinD)t(U~)t,x(u,...3,1i2212ii,...3,1iii,...3,1iii6-2求下列情况中当轴向常力突然移去时两端固定的等直杆的自由振动。(1)常力F作用于杆的中点，如题6-2(a)图所示；(2)常力F作用于杆的三分之一点处，如题6-2(b)图所示；(3)两个大小相等、方向相反的常力F作用于杆的四分之一点及四分之三点处如题图6-2(c)所示。解：（1）根据题意，0t时杆内的应变0/2PEA杆的初始条件为0000/2,0{/2xxluxuxlxlxl因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为1,2,sin1,2,iiiiaPiliUxDxilEa实用标准文案精彩文档将主振型代入归一化条件，得20sin12liiiADxdxlDAl得到正则振型~2sin1,2,iiUxxiAll得到以正则坐标表示的初始条件为20022020sinsin201,2,liiiiiliAuxDxdxADlixi得到以正则坐标表示的对初始条件的响应0cosiiipt于是杆的自由振动,uxt2~0221,2,1,2,2sinsincos2iiiiiiiiliUtDxADptli0221,2,sin42sincosiiilixptil12221,3,12sincosiipliiaxtEAill（2）根据题意，0t时杆内的应变1202/3/3PPPEAEAEA设杆的初始条件为1020/3,0{/3xxluxuxlxlxl0020/33{1/33xxllxlxl因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为实用标准文案精彩文档1,2,sin1,2,iiiiaPiliUxDxil将主振型代入归一化条件，得20sin12liiiADxdxlDAl得到正则振型~2sin1,2,iiUxxiAll得到以正则坐标表示的初始条件为2002200sinsin301,2,liiiiiliAuxDxdxADlixi得到以正则坐标表示的对初始条件的响应0cosiiipt于是杆的自由振动,uxt2~0221,2,1,2,sinsincos3iiiiiiiiliUtDxADptli0221,2,sin23sincosiiilixptil22121sincosipliiaxtEAill（3）根据题意，0t时杆内的应变0PEA杆的初始条件为00000/4,0{/2/43/43/4xxluxuxlxlxllxlxl实用标准文案精彩文档因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为1,2,sin1,2,iiiiaPiliUxDxil将主振型代入归一化条件，得20sin12liiiADxdxlDAl得到正则振型~2sin1,2,iiUxxiAll得到以正则坐标表示的初始条件为20022030sinsinsin4401,2,liiiiiliiAuxDxdxADlixi得到以正则坐标表示的对初始条件的响应0cosiiipt于是杆的自由振动,uxt2~0221,2,1,2,3sinsinsincos44iiiiiiiiliiUtDxADptli0221,2,3sinsin244sincosiiiilixptil24222,6,1014sincosiipliiaxtEAill6-3如题6-3图所示，一端固定一端自由的等直杆受到均匀分布力lFp00的作用，求分布力突然移去时杆的响应。解：杆左端固定端，右端为自由端)sincos)((,ptBptAxUtxu题6-3图实用标准文案精彩文档apxDapxCxUsincos)(边界条件0)0(U0lxdxdU得固有频率，主振型alipi2)12(xliDxUii2)12(sin)(i=1,2,⋯⋯)2sin2cos(2sin),(,3,1tlaiBtlaiAlxitxuiii杆在x处的应变xdxEAxlF000EAlxF220初始条件0)()0,(2)()0,(03000xuxuEAlxFxxuxu由0)()0,(0xuxu，得0iBtlaiAlxitxuii2cos2sin),(,3,1再利用三角函数正交性llidxlxixdxlxiA00022sin)2(sinldxlxiEAlxF0302sin2得EAilFAi33016tlaiAlxitxuii2cos2sin),(,3,1tlailxiiEAilFi2cos2sin116,3,13330解二：用直接法。因为ε=xpdxpx000其中，lFp00杆的初始条件为xxuxu000,dx=EA...
