微分方程练习练习1求解范德堡（vanderpol）方程222(1)0dxdxxxdtdt练习2单摆运动图4.3中一根长l的细线，一端固定，另一端悬挂质量为m的小球，在重力作用下，小球处于竖直的平衡位置.现使小球偏离平衡位置一个小的角度，然后使其自由运动，在不考虑空气阻力情形下，小球将沿弧线作周期一定的简谐运动.0为平衡位置，在小球摆动过程中，当与平衡位置夹角为时，小球所受重力在其动运轨迹的分量为sinmg（负号表示力的方向使减少），由牛顿第二定律可得微分方程()sinmltmg（4.12）设小球初始偏离角度为0，且初速为0，式（4.12）的初始条件为0(0),(0)0（4.13）当0不大时，sin，式（4.12）化为线性常系数微分方程图4.30gl（4.14）解得0()cosgttl（4.15）简谐运动的周期为2lTg.现在的问题是：当0较大时，仍用近似sin，误差太大，式（4.12）又无解析解，试用数值方法在0030,10两种情况下求解，画出()t的图形，与近似解（4.15）比较，这里设25cml.练习3捕食与被捕食当鲨鱼捕食小鱼，简记为乙捕食甲，在时刻t，小鱼的数量为()xt，鲨鱼的数量为()yt，当甲独立生存时它的（相对）增长率与种群数量成正比，即有()()xtrxt，r为增长率，而乙的存在使甲的增长率r减少，设减少率与乙的数量成正比，而得微分方程()()(())xtxtraytrxaxy（4.16）lmg比例系数a反映捕食者掠取食饵的能力.乙离开甲无法生存，设乙独自存在时死亡率为d，()()ytdyt，甲为乙提供食物，使乙的死亡率d降低，而促其数量增长，这一作用与甲的数量成正比，于是()yt满足()(())ytydbxtdybxy（4.17）比例系数b反映甲对乙的供养能力，设若甲，乙的初始数量分别为00(0);(0)xxyy（4.18）则微分方程（4.16），（4.17）及初始条件（4.18）确定了甲，乙数量()xt、()yt随时间变化而演变的过程，但该方程无解析解，试用数值解讨论以下问题：（1）设001,0.5,0.1,0.02,25,2rdabxy，求方程（4.16），（4.17）在条件（4.18）下的数值解，画出(),()xtyt的图形及相图(,)xy，观察解(),()xtyt的周期变化，近似确定解的周期和,xy的最大、小值，近似计算,xy在一个周期内的平均值.（2）从式（4.16）和（4.17）消去dt得到()()dxxraydyydbx（4.19）解方程（4.19），得到的解即为相轨线，说明这是封闭曲线，即解确为周期函数.（3）将方程（4.17）改写为1()[]yxtdby（4.20）在一个周期内积分，得到()xt一周期内的平均值，类似可得()yt一周期内的平均值，将近似计算的结果与理论值比较.进一步练习（1）编写改进欧拉公式求微分方程数值解的程序，并用其与ode23求下列微分方程数值解，对二者作出比较.a）22,(0)0yxyy或(0)1y.b)222()0xyxyxny2()2,()22yy（Bessel方程，这里令12n，其精确解为2sinyxx）.c)cos0,(0)1,(0)0yyxyy.（2）倒圆锥形容器，上底面直径为1.2m，容器的高亦为1.2m，在锥尖的地方开有一直径为3cm的小孔，容器装满水后，下方小孔开启，由水利学知识可知当水面高度为h时，水从小孔中流出的速度为2,vghg为重力加速度，若孔口收缩系数为0.6（即若一个面积单位的小孔向外出水时，水柱截面积为0.6），问水从小孔中流完需多少时间？2分钟时，水面高度是多少？（3）一只小船渡过宽为d的河流，目标是起点A正对着的另一岸上B点，已知河水流速1v与船在静水中的速度2v之比为k.（a）建立小船航线的方程，求其解析解.（b）设12100m,1m/s,2m/sdvv，用数值解法求渡河所需时间，任意时刻小船的位置及航行曲线，作图并与解析解比较.（c）若流速1v为0,0.5,2(m/s)，结果将如何？（4）研究种群竞争模型.当甲、乙两个种群各自生存时，数量演变服从下面规律1212()(1),()(1)xyxtrxytrynn其中，(),()xtyt分别为t时刻甲，乙两个种群的数量，12,rr为其固有增长率，12,nn为它们的最大容量，而当这两个种群在同一环境中生存时，由于乙消耗有限资源而对甲的增长产生影响，将甲的方程修改为1112(1)xyxrxsnn（4.22）这里1s的含意是：对于供养甲的资源而言，单位数量乙（相对2n）的消耗率为单位数量甲（相对1n）消耗的1s倍，类似地，甲的存在亦影响乙的增长，乙的方程应改为2212()(1)xyytrysnn（4.23）给定种群的初始值为00(0),(0)xxyy（4.24）及参数121212,,,,,rrssnn后，方程（4.22）...
