1/18§3.4定积分与微积分基本定理一、明确复习目标1．直观了解微积分基本定理的含义．2．会求简单的定积分．3．会用定积分的知识解决一些简单的应用问题．二．建构知识网络1.定积分的定义如果函数()fx在区间[,]ab上连续，用分点011iinaxxxxxb将区间[,]ab等分成n个小区间，在每个小区间1,iixx上任取一点(1,2,,)iin作和式____________________________．当n时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数()fx在区间[,]ab上的定积分，记作___________，在()bafxdx中，___和___分别叫做积分下限和积分上限，_______叫做被积函数，叫做积分变量，___________叫做被积式．2．定积分的性质（1）()bakfxdx＝_______________________________（k为常数）；（2）12[()()]bafxfxdx_______________________________；（3）()bafxdx＝_______________________________（其中acb）．3．微积分基本定理一般地，如果()fx是闭区间[,]ab上的连续函数，并且()()Fxfx，那么()bafxdx＝__________________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿——莱布尼兹公式，可以把()()FbFa记作________，即()bafxdx＝___________＝___________．4．通过定积分的运算可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0．2/18（1）当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值，且等于____________________；（2）当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，且等于____________________；（3）当位于x轴上方的曲边梯形的面积等于当位于x轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的值为__；定积分的值等于位于x轴上方的曲边梯形的面积______位于x轴下方的曲边梯形的面积．4．定积分求曲边梯形面积如右图所示，由三条直线：xaxbabx，，轴及一条曲线0yfxfx≥围成的曲边梯形的面积为S____________：⑴若在区间,ab上，0fx≤，则S____________⑵若在区间,ac上，0fx≥，在区间,cb上，0fx≤，则S____________5．匀变速运动的路程公式：作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数()()0vvtvt≥在时间区间,ab上的定积分，即s____________6．变力作功公式：一物体在变力Fx（单位：N）的作用下作直线运动，如果物体沿着Fx与F相同的方向从xa移动xbab（单位：m），则力F所做的功为W____________三、双基题目练练手1.下列值等于１的积分是()10.Axdx10.1Bxdx10.1Cdx101.2Ddx2.22sincosxxdx的值（）3/18.0..2.44ABCD3．如图，直线1y与抛物线2yx相交，则阴影部分面积为（）24..1..233ABCD4．211lnxdxx=（）A．21ln22B．ln2C．2ln2D．ln25．若11(2)3ln2axdxx，且a＞1，则a的值为（）A．6B．4C．3D．26．已知自由落体运动的速率vgt，则落体运动从0t到0tt所走的路程为（）A．203gtB．20gtC．202gtD．206gt7．0dxF'tt．四、经典例题做一做【例1】（1）221(21)xxdx（2）0(sincos)xxdx（3）2211()xxdxx（4）0(cos)xxedx【例2】求两曲线2yx和2yx所围成图形的面积．【例3】一物体在做变速直线运动，其vt曲线如图所示，求该物体在12s～6s间的运动路程．【例4】如图，阴影部分的面积是（）A．32B．3294/18C．332D．335【例5】抛物线：220yxaxa，若过原点的直线l与抛物线所围成的图形面积为329a，求直线l的方程．五．提炼总结以为师1．用定积分的定义求定积分的一般步骤：分割、近似代替、求和、取极限．要借助于求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程去体会定积分的基本思想．2．用微积分基本定理求定积分：关键是找到Fxfx满足的函数Fx，即找被积函数的原函数，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算，运用基本初等函数求导公式和四则运算法则从反方向上求出Fx．3．利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简，再积分．4．在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形的直观地确定出被积函数以及积分的上、下限．5．要把定积分和用定积分计算平面图形的面积这两个概念区分开，定积分是一种积分和的极限，可为正，也可为负或零；而平面图形的面积在一般意义下总为正，因此当fx0≤时要通过绝对值处理为正，一般情况下是借助定积分求出两个曲边梯形的面积，然后相加起来，例如：当函数fx在区间,ab...
