1/7本文为自本人珍藏版权所有仅供参考中位线问题集1、如图，四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别是AD、BC的中点，延长BA、NM、CD分别交于点E、F.试说明∠BEN=∠NFC.FENMABCD21GFEMNBCDA证明：连接BD，取BD中点G，连接GM，GN.在△ABD中MG∥AB，且MG=21AB，同理：NG∥CD，NG=21CD∴∠1=∠BEN，∠2=∠CFN AB=CD，∴GM=GN，∴∠1=∠2，∴∠BEN=∠CFN本题证明的方法很多，由于大家都比较熟悉，很多参考资料上都有，故不再例举.2、△ABC中，中线BD、CE相交于点O，F、G分别是OB、OC的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形.你还能得到什么结论？FGOEDABC证明：在△ABC，ED=21BC，且ED∥BC在△OBC中FG=21BC，且FG∥BC∴ED∥FG，ED=FG，∴平行四边形DEFG.3、梯形ABCD中,AD∥BC,E是腰AB的中点,且DE⊥CE.求证：DE、EC分别平分∠ADC和∠BCD.2/7AEDBC321FDEBCA证明：取CD中点F，连接EF.∴EF∥AD，∠1=∠3，在Rt△CDE中，FE=FD，∴∠2=∠3∠1=∠2，即DE平分∠ADC，同理，CE平分∠BCD.此讲义针对中位线，其他方法不再例举，4、如图，E、F分别是梯形ABCD的对角线中点，求证：)(21ADBCEFFEDBCAGFEBCDA证明：连接DF并延长交BC于点G，易证得：△ADF≌△CGF，∴FD=FG，AD=CG，在△DBG中，EF=21BG=21(BC-AD).5、分别以△ABC的AC、BC为腰，A、B为顶点做等腰直角△ACE、△BCD，M为DE中点，求证：△ABM也是等腰直角三角形.MDEABCGFMDEABC证明：延长EA到F，使AF=AE，连接CF，延长DB到G，使BG=BD，连接CG.连接EG，DF.易证得：△ECG≌△FCD，（实际上是将△ECG绕点C旋转90°得到△FCD）.∴EG=FD，在△EDF中，AM为中位线，∴AM∥DF，AM=21DF，3/7同理可证：BM∥EF，BM=21EF，∴AM=BM，且AM⊥BM.∴△ABM也是等腰直角三角形.6、任意五边形ABCDE中，M、N、P、Q分别是AB、CD、BC、DE的中点，K、L分别是MN、PQ的中点，求证：KL∥AE,且AE=4KL.KLMNPQABCDE证明本题之前，我们先来看一个源自于课本，大家比较熟悉的问题：依次连接四边形各边中点，所得到的四边形是平行四边形.而它的两条对角线互相平分.也就是：任意四边形对边中点的连线一定互相平分.即两条连线的交点是它们的中点.如图四边形ABCD中，点M、P、N、R依次是AB、BC、CD、DA的中点，且MN与PR相交于点K，则点K是MN和PR的中点.RKPMNCDABRKLQPMNCDEAB现在我们来证明原题证明：连接AD，取AD中点R，连接RQ，RP.由上面的证明可知在四边形ABCD中，PR一定经过点K，在△PQR中，KL∥RQ，KL=21RQ，同理得：在△DAE中，RQ∥AE，RQ=21AE，∴KL∥AE，且KL=41AE.或AE=4KL.7、已知AB∥CD,∠D+∠C=900,E、F分别是AB、CD的中点，求证：EF=21(DC-AB).4/7EBFDCAHGEBFDCA证明：过点D作DG∥BC，交BF的延长线于点G，连接AG，DC于点H.易证得：△BCF≌△DGF，∴BF=FG，在△ABG中，EF=21AG，EF∥AG，又 AB∥CD，∴四边形AEFH是平行四边形.EF=AH，且EF=21AG，∴点H为AG的中点.在△ADG中， DG∥BC且BC⊥AD，∴DG⊥AD，DH=21AG=EF，而EF=DH=DF–AE=21(DC–AB).本题也有多种证法，不再例举.8、在等腰三角形ABC的两腰AB、AC上分别取点E和F，使AE=CF，已知BC=2,证明：EF≥1.FBCAE在证明本题之前，我们也来看一条大家比较熟悉的问题：在△AMN中，AM=AN，点E是AM上一点，点F是AN延长线上的一点，EF与BC相交于点D，且EM=FN，求证：ED=DFGDFMNAE证明：过点E作EG∥AF，交MN于点G，易证得：△EGD≌△FND，∴DE=DF5/7321HGDNMBCAEF现在我们来证明原题.证明：①当E、F分别为AB、AC中点时：EF=21BC=1；②当E、F与不是AB、AC中点时：取AB、AC中点M、N，连接MN，交EF于D， AB=AC，∴AM=CN，又 AE=CF，∴EM=FN，由前面的说明可得：DE=DF.过点E作EG∥MN，交AC于点H，过点F作FG⊥EG，垂足为G，连接GD、GN，在中，点D为EF中点，∴DG=DF，在Rt△FGH中，GN为斜边FH上的中线，故NG=NH，∴∠NGH=∠1=∠3=∠1，∴NG∥ME，又 EG∥MN，∴四边形EMNG是平行四边形，∴EG=MN，在△DEG中，DE+DG＞EG，即：EF＞MN，∴EF＞1，综合①、②可得：EF≥1.感觉这种方法较麻烦，不知老师们是否有更为简便的证法.（征集中）9、△ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H．(1)求证：(1)GH∥BC;(2)若AB=9厘米，AC...
