1/102007年考研数学三试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当0x时，与x等价的无穷小量是（A）1ex（B）1ln1xx（C）11x（D）1cosx[]（2）设函数()fx在0x处连续，下列命题错误的是：（A）若0()limxfxx存在，则(0)0f（B）若0()()limxfxfxx存在，则(0)0f.（B）若0()limxfxx存在，则(0)0f（D）若0()()limxfxfxx存在，则(0)0f.[]（3）如图，连续函数()yfx在区间3,2,2,3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间2,0,0,2的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()()dxFxftt，则下列结论正确的是：（A）3(3)(2)4FF(B)5(3)(2)4FF（C）3(3)(2)4FF（D）5(3)(2)4FF[]（4）设函数(,)fxy连续，则二次积分1sin2d(,)dxxfxyy等于（A）10arcsind(,)dyyfxyx（B）10arcsind(,)dyyfxyx（C）1arcsin02d(,)dyyfxyx（D）1arcsin02d(,)dyyfxyx（5）设某商品的需求函数为1602QP，其中,QP分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是2/10(A)10.(B)20(C)30.(D)40.[]（6）曲线1ln1exyx的渐近线的条数为（A）0.（B）1.（C）2.（D）3.[]（7）设向量组123,,线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则(A)122331,,(B)122331,,(C)1223312,2,2.(D)1223312,2,2.[]（8）设矩阵211100121,010112000AB，则A与B(A)合同且相似（B）合同，但不相似.(C)不合同，但相似.(D)既不合同也不相似[]（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01)pp，则此人第4次射击恰好第2次击中目标的概率为[]（A）23(1)pp.（B）26(1)pp.（C）223(1)pp（D）226(1)pp（10）设随机变量,XY服从二维正态分布，且X与Y不相关，(),()XYfxfy分别表示,XY的概率密度，则在Yy的条件下，X的条件概率密度|(|)XYfxy为[](A)()Xfx(B)()Yfy(C)()()XYfxfy(D)()()XYfxfy.二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（11）3231lim(sincos)2xxxxxxx__________.（12）设函数123yx，则()(0)ny________.（13）设(,)fuv是二元可微函数，,yxzfxy，则zzxyxy__________.（14）微分方程3d1d2yyyxxx满足11xy的特解为y________.（15）设矩阵0100001000010000A，则3A的秩为.3/10（16）在区间0,1中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为.三、解答题：17～24小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）(本题满分10分)设函数()yyx由方程ln0yyxy确定，试判断曲线()yyx在点(1,1)附近的凹凸性.（18）(本题满分11分)设二元函数222,||||11(,),1||||2xxyfxyxyxy，计算二重积分D(,)dfxy，其中,||||2Dxyxy.（19）(本题满分11分)设函数(),()fxgx在,ab上连续，在(,)ab内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()fagafbgb，证明：存在(,)ab，使得()()fg.（20）(本题满分10分)将函数21()34fxxx展开成1x的幂级数，并指出其收敛区间.（21）(本题满分11分)设线性方程组123123212302040xxxxxaxxxax与方程12321xxxa有公共解，求a的值及所有公共解.（22）(本题满分11分)设三阶对称矩阵A的特征向量值1231,2,2，T1(1,1,1)是A的属于1的一个特征向量，记534BAAE，其中E为3阶单位矩阵.（I）验证1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；（II）求矩阵B.（23）(本题满分11分)设二维随机变量(,)XY的概率密度为2,01,01(,)0,xyxyfxy其他.（I）求2PXY；(II)求ZXY的概率密度.（24）（本题满分11分）4/10设总体X的概率密度为1,0,21(;),1,2(1)0,xfxx其他.其中参数(01)未知，12,,...nXXX是来自总体X的简单随机样本，X是样本均值.（Ⅰ）求参数的矩估计量；（Ⅱ）判断24X是否为2的无偏估计量，并说明理由.2007年数学三试题解析1⋯.【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可.【详解】当0x时，1exx，1112xx，2111cos22xxx，故用排除法可得正确选项为（B）.事实上，0001111lnln(1)ln(1)1112limlimlim112xxxxxxxxxxxxx，或1lnln(1)ln(1)()()()1xxxxoxxoxxoxxx.所以应选（B）2⋯⋯.【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系.由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方...
