1987年全国高中数学联赛试题一试题(10月11日上午8∶00——9∶30)一．选择题(每个小题选对得5分，不选得1分；选错或选出的代号超过一个者得0分．本题满分20分)：1．对任意给定的自然数n，若n6+3a为正整数的立方，其中a为正整数，则()A．这样的a有无穷多个B．这样的a存在，但只有有限个C．这样的a不存在D．以上A、B、C的结论都不正确(上海供题)2．边长为5的菱形，它的一条对角线的长不大于6，另一条不小于6，则这个菱形两条对角线长度之和的最大值是()A．10B．14C．5D．12(天津供题)3．在平面直角坐标系中纵横坐标均为有理数的点称为有理点，若a为无理数，则过(a，0)的所有直线中()A．有无穷多条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点B．恰有n(2≤n<+∞)条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点C．有且仅有一条直线至少通过两个有理点D．每条直线至多通过一个有理点(河南供题)4．如图，△ABC的顶点B在单位圆的圆心上，A、C在圆周上，∠ABC=2α(0<α<)，现将△ABC在圆内按逆时针方向依次作旋转，具体方法如下：第一次，以A为中心使B落到圆周上；第二次，以B为中心，使C落到圆周上；第三次，以C为中心，使A落到圆周上．如此旋转直到100次．那么A点所走过的路程的总长度为()A．22π(1+sinα)－66αB．πC．22π+πsinα－66αD．33π－66α(北京供题)二．填空题(每小题填写结果完全正确者得8分，填写错误或多填、少填者均得0分，本题满分40分)：1．已知集合M={x，xy，lg(xy)}及N={0，|x|，y}，并且M=N，那么(x+)+(x2+)+(x3+)+…+(x2001+)的值等于．(陕西供题)2．已知集合A={(x，y)||x|+|y|=α，α>0}B={(x，y)||xy|+1=|x|+|y|}若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则α的值为．(青海供题)3．若k是大于1的整数，α是x2－kx+1=0的一个根，对于大于10的任意自然数n，α\s\up6(2n+α\s\up6(－2n的个位数字总是7，则k的个位数字是．(河北供题)4．现有边长为3，4，5的三角形两个，边长为4，5，的三角形四个，边长为，4，5的三角形六个，用上述三角形为面，可以拼成个四面体．(江西供题)5．五对孪生兄妹参加k个组活动，若规定：⑴孪生兄妹不在同一组；⑵非孪生关系的任意两个人都恰好共同参加过一个组的活动，⑶有一人只参加两个组的活动，则k的最小值为．(命题组供题)1987年全国高中数学联赛二试题一．如图，△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，现固定△ABC，而将△ADE绕A点在平面上旋转，试证：不论△ADE旋转到什么位置，线段EC上必存在点M，使△BMD为等腰直角三角形．二．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点称为整点．试证：存在一个同心圆的集合，使得⑴每个整点都在此集合的某个圆周上；⑵此集合的每个圆周上，有且只有一个整点．(辛泽尔定理)三．n(n>3)名乒乓球选手单打若干场后，任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同，试证明：总可以从中去掉一名选手，而使在余下的选手中，任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同．1987年全国高中数学联赛解答一试题一．选择题(每个小题选对得5分，不选得1分；选错或选出的代号超过一个者得0分．本题满分20分)：1．对任意给定的自然数n，若n6+3a为正整数的立方，其中a为正整数，则()A．这样的a有无穷多个B．这样的a存在，但只有有限个C．这样的a不存在D．以上A、B、C的结论都不正确(上海供题)解：(n2+3k)3=n6+9n4k+27n2k2+27k3=n6+3(3n4+9n2k+9k2)k．取a=(3n4+9n2k+9k2)k，(k为任意正整数)，则n6+3a为正整数的立方，由于k可任意取值，且当k增大时，a也随之增大．即a有无数个．选A．2．边长为5的菱形，它的一条对角线的长不大于6，另一条不小于6，则这个菱形两条对角线长度之和的最大值是()A．10B．14C．5D．12(天津供题)解：设x≥3，y≤3，且x2+y2=25．满足要求的点构成直角坐标系中一段弧(图中粗线部分)．令x+y=k，则当直线经过点(4，3)时取得最大值7．即2x+2y≤14．选B．3．在平面直角坐标系中纵横坐标均为有理数的点称为有理点，若a为无理数，则过(a，0)的所有直线中()A．有无穷多条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点B．恰有n(2≤n<+∞)条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点C．有且仅有一条直线至少通过两...
