全国高中数学联赛试题及解析 苏教版10VIP免费

1990年全国高中数学联赛第一试(10月14日上午8∶00—10∶00)一．选择题(本题满分30分，每小题5分)1．设α∈(，),则(cos)cos，(sin)cos，(cos)sin的大小顺序是A．(cos)cos<(sin)cos<(cos)sinB．(cos)cos<(cos)sin<(sin)cosC．(sin)cos<(cos)cos<(cos)sinD．(cos)sin<(cos)cos<(sin)cos2．设f(x)是定义在实数集上的周期为2的函数，且是偶函数，已知当x∈[2,3]时，f(x)=x，则当x∈[－2,0]时，f(x)的解析式是()A．f(x)=x+4B．f(x)=2-xC．f(x)=3－|x+1|D．f(x)=2+|x+1|3．设双曲线的左右焦点是F1、F2，左右顶点是M、N，若△PF1F2的顶点P在双曲线上，则△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点位置是()A．在线段MN内部B．在线段F1M内部或在线段NF2内部C．点M或点ND．不能确定的4．点集{(x，y)|lg(x3+y3+)=lgx+lgy}中元素个数为()A．0B．1C．2D．多于25．设非零复数x、y满足x2+xy+y2=0，则代数式+的值是()A．2－1989B．－1C．1D．以上答案都不对6．已知椭圆+=1(a>b>0)通过点(2，1)，所有这些椭圆上满足|y|>1的点的集合用阴影表示是下面图中的()二．填空题(本题满分30分，每小题5分)1．设n为自然数，a、b为正实数，且满足a+b=2，则+的最小值是．2．设A(2，0)为平面上一定点，P(sin(2t－60°)，cos(2t－60°))为动点，则当t由15°变到45°时，线段AP扫过的面积是．3．设n为自然数，对于任意实数x，y，z，恒有(x2+y2+z2)2≤n(x4+y4+z4)成立，则n的最小值是．4．对任意正整数n，连结原点O与点An(n，n+3)，用f(n)表示线段OAn上的整点个数(不计端点)，试求f(1)+f(2)+…+f(1990)．5．设n=1990，则(1－3C+32C－33C+…+3994C－3995C=．6．8个女孩与25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共有种不同和排列方法．(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的)．三．(本题满分20分)已知a，b均为正整数，且a>b，sinθ=，(其中0<θ<)，An=(a2+b2)nsinnθ．求证：对于一切自然数n，An均为整数．四．n2个正数排成n行n列其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等．已知a24=1，a42=，a43=，求a11+a22+……+ann．五．设棱锥M—ABCD的底面为正方形，且MA=MD，MA⊥AB，如果△AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径．a11a12a13a14……a1na21a22a23a24……a2na31a32a33a34……a3na41a42a43a44……a4n……………………………………an1an2an3an4……ann第二试(10月14日上午10∶30—12∶30)一．(本题满分35分)四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD相交于P，设三角形ABP、BCP、CDP和DAP的外接圆圆心分别是O1、O2、O3、O4．求证OP、O1O3、O2O4三直线共点．二．(本题满分35分)设E={1，2，3，……，200}，G={a1，a2，……，a100}\s\up4(()E．且G具有下列两条性质：⑴对任何1≤i