全国高中数学联赛试题及解析 苏教版12VIP免费

1992年全国高中数学联赛试卷第一试一、选择题(每小题5分，共30分)1．对于每个自然数n，抛物线y=(n2+n)x2(2n+1)x+1与x轴交于An，Bn两点，以|AnBn|表示该两点的距离，则|A1B1|+|A2B2|++|A1992B1992|的值是()(A)(B)(C)(D)2．已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是()(A)(x+)(y+)=0(B)(x)(y)=0(C)(x+)(y)=0(D)(x)(y+)=03．设四面体四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，它们的最大值为S，记λ=(\s\up12(4)Si)/S，则λ一定满足()(A)2<λ≤4(B)3<λ<4(C)2.5<λ≤4.5(D)3.5<λ4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别记为a，b，c(b1)，且，都是方程logx=logb(4x－4)的根，则△ABC()(A)是等腰三角形，但不是直角三角形(B)是直角三角形，但不是等腰三角形(C)是等腰直角三角形(D)不是等腰三角形，也不是直角三角形5．设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，且|z1|=4，4z122z1z2+z22=0，O为坐标原点，则△OAB的面积为()(A)8(B)4(C)6(D)126．设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系f(10+x)=f(10x)，f(20x)=f(20+x)，则f(x)是(A)偶函数，又是周期函数(B)偶函数，但不是周期函数(C)奇函数，又是周期函数(D)奇函数，但不是周期函数二、填空题(每小题5分共30分)1．设x，y，z是实数，3x，4y，5z成等比数列，且，，成等差数列，则+的值是______．2．在区间[0，]中，三角方程cos7x=cos5x的解的个数是______．3．从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k的最大值是_____．4．设z1，z2都是复数，且|z1|=3，|z2|=5|z1+z2|=7，则arg()3的值是______．5．设数列a1，a2，，an，满足a1=a2=1，a3=2，且对任何自然数n，都有anan+1an+21，又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，则a1+a2++a100的值是____．6．函数f(x)=－的最大值是_____．三、(20分)求证：16<\s\up12(4)<17．四、(20分)设l，m是两条异面直线，在l上有A，B，C三点，且AB=BC，过A，B，C分别作m的垂线AD，BE，CF，垂足依次是D，E，F，已知AD=，BE=CF=，求l与m的距离．五、(20分)设n是自然数，fn(x)=(x0，±1)，令y=x+．1.求证:fn+1(x)=yfn(x)fn-1(x)，(n>1)2.用数学归纳法证明：fn(x)=第二试一、(35分)设A1A2A3A4为⊙O的内接四边形，H1、H2、H3、H4依次为⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1A2A3的垂心．求证：H1、H2、H3、H4四点在同一个圆上，并定出该圆的圆心位置．二、(35分)设集合Sn={1,2,,n}．若X是Sn的子集，把X中所有数的和称为X的“容量”(规定空集的容量为0)，若X的容量为奇(偶)数，则称X为的奇(偶)子集．1．求证Sn的奇子集与偶子集个数相等．2．求证：当n≥3时，Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．3．当n≥3时，求Sn的所有奇子集的容量之和．三、(35分)在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点，任取6个格点Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)满足(1)|xi|≤2,|yi|≤2,(i=1,2,3,4,5,6)，(2)任何三点不在同一条直线上．试证：在以Pi(i=1,2,3,4,5,6)为顶点的所有三角形中，必有一个三角形，它的面积不大于2．1992年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题(每小题5分，共30分)1．对于每个自然数n，抛物线y=(n2+n)x2(2n+1)x+1与x轴交于An，Bn两点，以|AnBn|表示该两点的距离，则|A1B1|+|A2B2|++|A1992B1992|的值是()(A)(B)(C)(D)解：y=((n+1)x－1)(nx－1)，∴|AnBn|=－，于是|A1B1|+|A2B2|++|A1992B1992|=，选B．2．已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是()(A)(x+)(y+)=0(B)(x)(y)=0(C)(x+)(y)=0(D)(x)(y+)=0解：(x)=0表示y轴右边的半圆，(y+)=0表示x轴下方的半圆，故选D．3．设四面体四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，它们的最大值为S，记λ=(\s\up12(4)Si)/S，则λ一定满足()(A)2<λ≤4(B)3<λ<4(C)2.5<λ≤4.5(D)3.5<λ解：\s\up12(4)Si≤4S，故\s\up12(4)Si≤4，又当与最大面相对的顶点向此面无限接近时，\s\up12(4)Si接近2S，故选A．4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别记为a，b，c(b1)，且，都是方程logx=logb(4x－4)的根...