全国高中数学联赛试题及解析 苏教版52VIP免费

2006年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准.选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次.一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1．已知△ABC，若对任意t∈R，≥，则△ABC一定为A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．答案不确定答C．解：令∠ABC＝α，过A作AD⊥BC于D，由≥，推出－2t\s\up6(→)·\s\up6(→)＋t2≥,令t＝，代入上式，得－2cos2α＋cos2α≥，即sin2α≥,也即sinα≥．从而有≥．由此可得∠ACB＝．2．设logx(2x2＋x－1)＞logx2－1，则x的取值范围为A．＜x＜1B．x＞且x≠1C．x＞1D．0＜x＜1答B．解：因为，解得x＞且x≠1．由logx(2x2＋x－1)＞logx2－1，logx(2x3＋x2－x)＞logx2或．解得0＜x＜1或x＞1．所以x的取值范围为x＞且x≠1．3．已知集合A＝{x|5x－a≤0}，B＝{x|6x－b＞0}，a，b∈N，且A∩B∩N＝{2，3，4}，则整数对(a，b)的个数为A．20B．25C．30D．42答C．解：5x－a≤0x≤；6x－b＞0x＞．要使A∩B∩N＝{2，3，4}，则，即所以数对(a，b)共有C\s\do3(6)C\s\do3(5)＝30个．4．在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1＝1．已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为A．[，1)B．[，2)C．[1，)D．[，)答A．解：建立直角坐标系，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，则F(t1，0，0)(0＜t1＜1)，E(0，1，)，G(，0，1)，D(0，t2，0)(0＜t2＜1)．所以\s\up6(→)＝(t1，－1，－)，\s\up6(→)＝(－，t2，－1)．因为GD⊥EF，所以t1＋2t2＝1，由此推出0＜t2＜．又\s\up6(→)＝(t1，－t2，0)，＝＝＝，从而有≤＜1．5．设f(x)＝x3＋log2(x＋)，则对任意实数a，b，a＋b≥0是f(a)＋f(b)≥0的A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件答A．解：显然f(x)＝x3＋log2(x＋)为奇函数，且单调递增．于是若a＋b≥0，则a≥－b，有f(a)≥f(－b)，即f(a)≥－f(b)，从而有f(a)＋f(b)≥0．反之，若f(a)＋f(b)≥0，则f(a)≥－f(b)＝f(－b),推出a≥－b，即a＋b≥0．6．数码a1，a2，a3，…，a2006中有奇数个9的2007位十进制数\s\up6(－)的个数为A．(102006＋82006)B．(102006－82006)C．102006＋82006D．102006－82006答B．解：出现奇数个9的十进制数个数有A＝C\s\do3(2006)92005＋C\s\do3(2006)92003＋…＋C\s\do3(2006)9．又由于(9＋1)2006＝\s\do8(k＝0)C\s\do3(2006)92006－k以及(9－1)2006＝\s\do8(k＝0)C\s\do3(2006)(－1)k92006－k从而得A＝C\s\do3(2006)92005＋C\s\do3(2006)92003＋…＋C\s\do3(2006)9＝(102006－82006)．二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7.设f(x)＝sin4x－sinxcosx＋cos4x，则f(x)的值域是．填[0，]．解：f(x)＝sin4x－sinxcosx＋cos4x＝1－sin2x－sin22x．令t＝sin2x，则f(x)＝g(t)＝1－t－t2＝－(t＋)2．因此\s\do5(－1≤t≤1)g(t)＝g(1)＝0，\s\do5(－1≤t≤1)g(t)＝g(－)＝．故，f(x)∈[0，]．8.若对一切θ∈R，复数z＝(a＋cosθ)＋(2a－sinθ)i的模不超过2，则实数a的取值范围为．填[－，]．解：依题意，得|z|≤2(a＋cosθ)2＋(2a－sinθ)2≤42a(cosθ－2sinθ)≤3－5a2．－2asin(θ－φ)≤3－5a2(φ＝arcsin)对任意实数θ成立．2|a|≤3－5a2|a|≤，故a的取值范围为[－，]．9．已知椭圆＋＝1的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线l：x－y＋8＋2＝0上.当∠F1PF2取最大值时，比的值为．填－1．.解：由平面几何知，要使∠F1PF2最大，则过F1，F2，P三点的圆必定和直线l相切于点P．直线l交x轴于A(－8－2，0)，则∠APF1＝∠AF2P，即∆APF1∽∆AF2P，即＝⑴又由圆幂定理，|AP|2＝|AF1|·|AF2|⑵而F1(－2，0)，F2(2，0)，A(－8－2，0)，从而有|AF1|＝8，|AF2|＝8＋4．代入⑴，⑵得，＝＝＝＝－1．10．底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四...