1991年全国高中数学联赛一试题一．选择题：1．由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为()A．4B．8C．12D．242．设a、b、c均为非零复数，且==，则的值为()A．1B．±ωC．1，ω，ω2D．1，－ω，－ω23．设a是正整数，a<100，并且a3+23能被24整除，那么，这样的a的个数为()A．4B．5C．9D．104．设函数y=f(x)对于一切实数x满足f(3+x)=f(3－x)．且方程f(x)=0恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为()A．18B．12C．9D．05．设S={(x，y)|x2－y2=奇数，x，y∈R}，T={(x，y)|sin(2πx2)－sin(2πy2)=cos(2πx2)－cos(2πy2)，x，y∈R}，则()A．S\s\up3(()TB．T\s\up3(()SC．S=TD．S∩T=Ø6．方程|x－y2|=1－|x|的图象为()二．填空题：1．cos210°+cos250°－sin40°sin80°=．2．在△ABC中，已知三个角A、B、C成等差数列，假设它们所对的边分别为a，b，c，并且c－a等于AC边上的高h，则sin=．3．将正奇数集合{1，3，5，…}由小到大按第n组有(2n－1)个奇数进行分组：{1}，{3，5，7}，{9，11，13，15，17}，……(第一组)(第二组)(第三组)则1991位于第组．4．19912000除以106，余数是．5．设复数z1，z2满足|z1|=|z1+z2|=3，|z1－z2|=3，则log3|(z1\s\up5(－))2000+(\s\up5(－)z2)2000|=．6．设集合M={1，2，…，1000}，现对M中的任一非空子集X，令αX表示X中最大数与最小数的和．那么，所有这样的αX的算术平均值为．三．设正三棱锥P—ABC的高为PO，M为PO的中点，过AM作与棱BC平行的平面，将三棱锥截为上、下两部分，试求此两部分的体积比．四．设O为抛物线的顶点，F为焦点，且PQ为过F的弦．已知|OF|=a，|PQ|=B．求△OPQ的面积．五．已知0
