全国高中数学联赛试题及解析 苏教版20VIP免费

2000年全国高中数学联合竞赛试卷（10月15日上午8:009:40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．设全集是实数，若A={x|≤0}，B={x|10=10x}，则A∩∁RB是()(A){2}(B){1}(C){x|x≤2}(D)2．设sin＞0，cos＜0，且sin＞cos，则的取值范围是()(A)(2k+，2k+)，kZ(B)(+，+)，kZ(C)(2k+，2k+)，kZ(D)(2k+，2k+)∪(2k+，2k+)，kZ3．已知点A为双曲线x2y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是()(A)(B)(C)3(D)64．给定正数p，q，a，b，c，其中pq，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx22ax+c=0()(A)无实根(B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是()(A)(B)(C)(D)6．设ω=cos+isin，则以，3，7，9为根的方程是()(A)x4+x3+x2+x+1=0(B)x4x3+x2x+1=0(C)x4x3x2+x+1=0(D)x4+x3+x2x1=0二．填空题（本题满分54分，每小题9分）1．arcsin(sin2000)=__________．2．设an是(3)n的展开式中x项的系数(n=2，3，4，…)，则lim(++…+))=________.3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________.4．在椭圆+=1(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________.5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________.6．如果：(1)a，b，c，d都属于{1，2，3，4}；(2)ab，bc，cd，da；(3)a是a，b，c，d中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数\s\up12(____)的个数是_________三、解答题(本题满分60分，每小题20分)1．设Sn=1+2+3+…+n，nN*，求f(n)=的最大值．2．若函数f(x)=－x2+在区间[a，b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a，b]．3．已知C0：x2+y2=1和C1：+=1(a＞b＞0)．试问：当且仅当a，b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为顶点，与C0外切，与C1内接的平行四边形？并证明你的结论．2000年全国高中数学联赛二试题（10月15日上午10∶00-12∶00）一．（本题满分50分）如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N是垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D．证明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等．二．（本题满分50分）设数列{an}和{bn}满足a0=1，a1=4，a2=49，且n=0，1，2，……证明an（n=0，1，2，…）是完全平方数．三．（本题满分50分）有n个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意n－2个人之间通电话的次数相等，都是3k次，其中k是自然数，求n的所有可能值．2000年全国高中数学联合竞赛试题解答第一试一．选择题（本题满分36分，每小题6分）1．设全集是实数，若A={x|≤0}，B={x|10=10x}，则A∩∁RB是()(A){2}(B){1}(C){x|x≤2}(D)解：A={2}，B={2，－1}，故选D．2．设sin＞0，cos＜0，且sin＞cos，则的取值范围是()(A)(2k+，2k+)，kZ(B)(+，+)，kZ(C)(2k+，2k+)，kZ(D)(2k+，2k+)∪(2k+，2k+)，kZ解：满足sin＞0，cos＜0的α的范围是(2k+，2k+π)，于是的取值范围是(+，+)，满足sin＞cos的的取值范围为(2k+，2k+)．故所求范围是(2k+，2k+)∪(2k+，2k+)，kZ．选D．3．已知点A为双曲线x2y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是()(A)(B)(C)3(D)6解：A(－1，0)，AB方程：y=(x+1)，代入双曲线方程，解得B(2，)，∴S=3．选C．4．给定正数p，q，a，b，c，其中pq，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx22ax+c=0()(A)无实根(B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根解：a2=pq，b+c=p+q．b=，c=；△=a2－bc=pq－(2p+q)(p+2q)=－(p－q)2<0．选A．5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是()(A)(B)(C)(D)解：直线即25x－15y+12=0．平面上点(x，y)到直线的距离==． 5x－3y+2为整数，故|5(5x－3y+2)+2|≥2．且当x=y=－1时即可取到...