1996年全国高中数学联合竞赛试卷第一试(10月13日上午8：00－9：20)一、选择题(本题满分36分，每题6分)1．把圆x2+(y－1)2=1与椭圆9x2+(y+1)2=9的公共点，用线段连接起来所得到的图形为()(A)线段(B)不等边三角形(C)等边三角形(D)四边形2．等比数列{an}的首项a1=1536,公比q=－,用πn表示它的前n项之积。则πn(n∈N*)最大的是()(A)π9(B)π11(C)π12(D)π133．存在整数n,使+是整数的质数p()(A)不存在(B)只有一个(C)多于一个,但为有限个(D)有无穷多个4．设x∈(－，0),以下三个数α1=cos(sinxπ),α2=sin(cosxπ),α3=cos(x+1)π的大小关系是()(A)α3<α2<α1(B)α1<α3<α2(C)α3<α1<α2(D)α2<α3<α15．如果在区间[1,2]上函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+在同一点取相同的最小值，那么f(x)在该区间上的最大值是()(A)4++(B)4－+(C)1－+(D)以上答案都不对6．高为8的圆台内有一个半径为2的球O1，球心O1在圆台的轴上，球O1与圆台的上底面、侧面都相切，圆台内可再放入一个半径为3的球O2，使得球O2与球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，除球O2，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是()(A)1(B)2(C)3(D)4二、填空题(本题满分54分，每小题9分)1．集合{x|－1≤log10<－，x∈N*}的真子集的个数是．2．复平面上，非零复数z1，z2在以i为圆心，1为半径的圆上，\s\up10(_)·z2的实部为零，z1的辐角主值为，则z2=_______．3．曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ，点A的极坐标是(2,0)，曲线C在它所在的平面内绕A旋转一周，则它扫过的图形的面积是_______．4．已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是________．5．从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。则不同的染色方法共有_______种．(注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同．)6．在直角坐标平面，以(199,0)为圆心，199为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个数为________．第二试一、（本题满分25分）设数列{an}的前n项和Sn=2an－1（n=1，2，…），数列{bn}满足b1=3，bk+1=ak+bk(k=1，2，…)．求数列{bn}的前n项和．二、（本题满分25分）求实数a的取值范围，使得对任意实数x和任意θ∈[0，]，恒有（x+3+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2≥．三、（本题满分35分）如图，圆O1和圆O2与△ABC的三边所在的三条直线都相切，E、F、G、H为切点，并且EG、FH的延长线交于P点。求证直线PA与BC垂直。四、（本题满分35分）有n(n≥6)个人聚会，已知：（1）每人至少同其中个人互相认识；（2）对于其中任意个人，或者其中有2人相识，或者余下的人中有2人相识．证明：这n个人中必有三人两两认识．EFABCGHPO1。。O21996年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题(本题满分36分，每题6分)1．把圆x2+(y－1)2=1与椭圆9x2+(y+1)2=9的公共点，用线段连接起来所得到的图形为()(A)线段(B)不等边三角形(C)等边三角形(D)四边形解：9－9(y－1)2=9－(y+1)2，8y2－20y+8=0，y=2或，相应的，x=0，或x=±．此三点连成一个正三角形．选C．2．等比数列{an}的首项a1=1536,公比q=－，用πn表示它的前n项之积。则πn(n∈N*)最大的是()(A)π9(B)π11(C)π12(D)π13解：πn=1536n×(－)，故π11<0，π9，π12，π13>0．作商比较：又，=15363()66－36>1，=1536()78－66<1．故选C．3．存在整数n,使+是整数的质数()(A)不存在(B)只有一个(C)多于一个,但为有限个(D)有无穷多个解：如果p为奇质数，p=2k+1，则存在n=k2(k∈N+)，使+=2k+1．故选D．4．设x∈(－,0)，以下三个数α1=cos(sinxπ),α2=sin(cosxπ),α3=cos(x+1)π的大小关系是()(A)α3<α2<α1(B)α1<α3<α2(C)α3<α1<α2(D)α2<α3<α1解：α1=cos(sin|x|π)>0，α2=sin(cos|x|π)>0，α3=cos(1－|x|)π<0，排除B、D． sin|x|π+cos|x|π=sin(|x|π+)<，于是cos|x|π<－sin|x|π，∴sin(c...
