1989年全国高中数学联赛(10月15日上午8∶00—10∶00)一．选择题(本题满分30分，每小题5分)：1．若A、B是锐角△ABC的两个内角，则复数z=(cosB－sinA)+i(sinB－cosA)在复平面内所对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．函数f(x)=arctanx+arcsinx的值域是()A．(－π，π)B．[－π，π]C．(－π，π)D．[－π，π]3．对任意的函数y=f(x)，在同一个直角坐标系中，函数y=f(x－l)与函数y=f(－x+l)的图象恒()A．关于x轴对称B．关于直线x=l对称C．关于直线x=－l对称D．关于y轴对称4．以长方体8个顶点中任意3个为顶点的所有三角形中，锐角三角形的个数为()A．0B．6C．8D．245．若M={z|z=+i，t∈R，t≠－1，t≠0}，N={z|z=[cos(arcsint)+icos(arccost)]，t∈R，|t|≤1}．则M∩N中元素的个数为A．0B．1C．2D．46．集合M={u|u=12m+8n+4l，其中m，n，l∈Z}N={u|u=20p+16q+12r，其中p，q，r∈Z}的关系为A．M=NB．MN，NMC．M\s\up4(()ND．N\s\up4(()M三．填空题(本题满分30分，每小题5分)1．若loga<1，则a的取值范围是．2．已知直线l：2x+y=10，过点(－10，0)作直线l⊥l，则l与l的交点坐标为．3．设函数f0(x)=|x|，f1(x)=|f0(x)－1|，f2(x)=|f1(x)－2|，则函数y=f2(x)的图象与x轴所围成图形中的封闭部分的面积是.4．一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列，则该数为．5．如果从数1，2，3，…，14中，按由小到大的顺序取出a1，a2，a3，使同时满足a2－a1≥3，与a3－a2≥3，那么，所有符合上述要求的不同取法有种．6．当s和t取遍所有实数时，则(s+5－3|cost|)2+(s－2|sint|)2所能达到的最小值为．三．(本题满分20分)已知a1，a2，…，an是n个正数，满足a1∙a2∙…∙an=1．求证：(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n．四．(本题满分20分)已知正三棱锥S—ABC的高SO=3，底面边长为6，过点A向其所对侧面SBC作垂线，垂足为O，在AO上取一点P，使=8，求经过点P且平行于底面的截面的面积．五．(本题满分20分)已知：对任意的n∈N*，有an>0，且a=(aj)2．求证：an=n．第二试(上午10∶30—12∶30)一．(本题满分35分)已知在ΔABC中，AB>AC，A的一个外角的平分线交ΔABC的外接圆于点E，过E作EF⊥AB，垂足为F．求证2AF=AB-AC．二．(本题满分35分)已知xi∈R(i=1，2，…，n；n≥2)，满足|xi|=1，xi=0，求证：≤－．三．(本题满分35分)有n×n（n≥4)的一张空白方格表，在它的每一个方格内任意的填入+1与-1这两个数中的一个，现将表内n个两两既不同行(横)又不同列(竖)的方格中的数的乘积称为一个基本项．试证明：按上述方式所填成的每一个方格表，它的全部基本项之和总能被4整除（即总能表示成4k的形式，其中k∈Z）．ABCEF1989年全国高中数学联赛解答第一试一．选择题(本题满分30分，每小题5分)：1．若A、B是锐角△ABC的两个内角，则复数z=(cosB－sinA)+i(sinB－cosA)在复平面内所对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：0°
A>90°－B>0°，sinA>cosB，cosA0．点Z位于第二象限．选B2．函数f(x)=arctanx+arcsinx的值域是()A．(－π，π)B．[－π，π]C．(－π，π)D．[－π，π]解：因x∈[－1，1]，故arctanx∈[－，]，arcsinx∈[－，]，且f(－1)=－，f(1)=．选D3．对任意的函数y=f(x)，在同一个直角坐标系中，函数y=f(x－l)与函数y=f(－x+l)的图象恒()A．关于x轴对称B．关于直线x=l对称C．关于直线x=－l对称D．关于y轴对称解：令x－1=t，则得f(t)=f(－t)，即f(t)关于t=0对称，即此二图象关于x=1对称．选B4．以长方体8个顶点中任意3个为顶点的所有三角形中，锐角三角形的个数为()A．0B．6C．8D．24解：以不相邻的4个顶点为顶点的四面体的8个面都是锐角三角形．其余的三角形都不是锐角三角形．选C．5．若M={z|z=+i，t∈R，t≠－1，t≠0}，N={z|z=[cos(arcsint)+icos(arccost)]，t∈R，|t|≤1}．则M∩N中元素的个数为A．0B．1C．2D．4解：M的图象为双曲线xy=1(x≠0，x≠1)N的图象为x2+y2=2(x≥0)，二者无公共点．选A．6．集合M={u|u=12m+8n+4l，其中m，n，l∈Z}N={u|u=20p+16q+12r，其中p...
