一九九九年全国高中数学联合竞赛第一试(10月10日上午8:00-9:40)一．选择题：（每小题6分）1．给定公比为q(q≠1)的等比数列{an}，设b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…,bn=a3n-2+a3n-1+a3n,…则数列{bn}()(A)是等差数列(B)是公比q为的等比数列(C)是公比为q3的等比数列(D)既非等差数列又非等比数列2．平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么满足不等式(|x|－1)2+(|y|－1)2<2的整点(x，y)的个数是()（A）16（B）17（C）18（D）253．若(log23)x－(log53)x≥(log23)－y－(log53)－y，则()（A）x－y≥0（B）x+y≥0（C）x－y≤0（D）x+y≤04．给定下列两个关于异面直线的命题：命题1：若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么c至多与a,b中的一条相交。命题2：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条是异面直线。那么()(A)命题1正确，命题2不正确(B)命题2正确，命题1不正确(C)两个命题都正确(D)两个命题都不正确5．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场，那么在上述3名选手之间比赛的场数是()(A)0（B）1（C）2（D）36．已知点A（1，2），过点（5，-2）的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B，C，那么△ABC是()（A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）答案不确定一、填空题：(每小题9分)1、已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么这样的n的个数是．2、已知θ=arctan，那么复数z=的辐角主值是．3、在△ABC中，记BC=a,CA=b,AB=c,若9a2+9b2－19c2=0,则=．4、已知点P在双曲线－=1上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么P的横坐标是．5、已知直线ax+by+c=0中的a，b，c是取自集合{－3，－2，－1，0，1，2，3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么这样的直线的条数是．6、已知三棱锥S－ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，二面角H－AB－C的平面角等于30°，SA=2，那么三棱锥S—ABC的体积为．三、（本题满分为20分）已知当x∈[0，1]时，不等式x2cosθ－x(1－x)+(1－x)2sinθ>0恒成立，试求θ的取值范围。四、（本题满分20分）给定A（－2，2），已知B是椭圆+=1上的动点，F是左焦点，当|AB|+|BF|取最小值时，求B的坐标。五、（本题满分20分）给定正整数n和正数M，对于满足条件a21+a2n+1≤M的所有等差数列a1，a2，a3，…，试求S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值。第二试一、(满分50分)如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD。在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G．求证：∠GAC=∠EAC.二、(满分50分)给定实数a，b，c，已知复数z1，z2，z3满足：求|az1+bz2+cz3|的值．三、(满分50分)给定正整数n，已知用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1,2,3,…,n克的所有物品。（1）求k的最小值f(n)；（2）当且仅当n取什么值时，上述f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的？并证明你的结论。一九九九年全国高中数学联赛解答第一试一．选择题：（每小题6分）1．给定公比为q(q≠1)的等比数列{an}，设b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…,bn=a3n-2+a3n-1+a3n,…则数列{bn}()(A)是等差数列(B)是公比q为的等比数列(C)是公比为q3的等比数列(D)既非等差数列又非等比数列解：由题设，an=a1qn－1，则===q3．因此，｛bn｝是公比为q3的等比数列．故选C2．平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么满足不等式(|x|－1)2+(|y|－1)2<2的整点(x，y)的个数是()（A）16（B）17（C）18（D）25解：由（|x|－1)2+(|y|－1)2<2,可得(|x|－1,|y|－1)为(0，0)，(0，1)，(0，－1)，(1，0)或(－1，0).从而，不难得到(x,y)共有16个．选A3．若(log23)x－(log53)x≥(log23)–y－(log53)－y，则()（A）x－y≥0（B）x+y≥0（C）x－y≤0（D）x+y≤0解：记f(t)=(log23)t－(log53)t，则f(t)在R上是严格增函数．原不等式即f(x)≥f(－y)．故x≥－y，即x+y≥0．选B．4．给定下列两个关于异面直线的命题：命题1：若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c...
