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平面几何试题精选VIP免费

平面几何试题精选_第1页
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平面几何试题精选_第3页
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01凸四边形ABCD的对角线交于点M,点P、Q分别是△AMD和△CMB重心,R、S分别是△DMC和△MAB的垂心.求证PQ⊥RS.证:过A、C分别作BD的平行线,过B、D分别作AC的平行线.这四条直线分别相交于X、W、Y、Z.则四边形XWYZ为平行四边形,且XW∥AC∥XZ.则四边形XAMD、MBYC皆为平行四边形.由其对角线互相平分知MX在△AMD中线所在直线上,MY在△BMC中线所在直线上,且==.∴XY∥PQ.故欲证原命题,只需证XY⊥RS,这等价于SY2-SX2=RY2-RX2.下证上式:由S为△AMB垂心知SB⊥AMSB⊥WY.同理SA⊥WX.则勾股定理知SY2=SB2+BY2=BY2+SW2-WB2=BY2-WB2+SA2+WA2…①SX2=SA2+XA2…②①-②得SY2-SX2=BY2-WB2+WA2-XA2…③同理得RY2=YC2-ZC2+RD2+DA2,RX2=DX2+RD2.故RY2-RX2=YC2-ZC2+DZ2-DX2…④由XW∥DB∥YZ,WY∥AC∥XZ有BY=DZ,WB=XD,AW=YC,AX=ZC.比较③④两式右边即有SY2-SX2=RY2-RX2.由此即有XY⊥RS,从而得出PQ⊥RS,证毕.02已知E、F是△ABC两边AB、AC的中点,CM、BN是AB、AC边上的高,连线EF、MN相交于P点.又设O、H分别是△ABC的外心和垂心,连接AP、OH.求证AP⊥OH.同苏炜杰03证:引理:如图,设∠BAP=,∠BAP=,则=…①AP与AP重合.引理的证明:事实上,①式即==sinAcot-sinA=sinAcot-cosA=.¡ñ¡ñ¡ñABCDPQMRXYZSW()()ABPP''C¦Á¦Â即AP与AP重合.引理得证.回到原题:为了看得清,我们画两张图表示,过A作AQ⊥OH=Q.我们证明AP与AQ重合:由引理只需证=…①先看右图, E、P、F三点共线,以A为视点运用张角定理得=+.综合上二式有-sin∠1=-sin∠2=.又易有M、B、C、N四点共圆.∴AM·AB=AN·AC,即2AM·AE=2AN·AF.∴=…②再看右图, ∠AQH=∠ANH=∠AMH=90,∴A、M、Q、H;A、Q、H、N分别四点共圆.∴∠MHQ=∠3,∠BHQ=∠4.在△MOH与△BOH中分别运用正弦定理有=,=.两式相除有=,其中MOsin∠OMH=OMcos∠OME=EM.过O作OG⊥BN=G,由∠OGN=∠GNF=∠NFO=90知OGNF为矩形.∴OG=NF,OBsin∠OBN=OG=NF.∴=…③综合②③知①式成立,故AP⊥OH,证毕.03设H为△ABC的垂心,D、E、F为△ABC的外接圆上三点使得AD∥BE∥CF,S、T、U分别为D、E、F关于边BC、CA、AB的对称点.求证S、T、U、H四点共圆.同何长伟02,但解法不同证:我们先证明一些关于四边形HUST的性质:延长AH、BH、CH与△ABC外接圆交于A、B、C.熟知H与A关于BC对称,H与B关于AC对称,H与C关于AB对称.又D与S关于BC对称,故四边形DHAS关于BC对称.故DHAS必为等腰梯形.四边形HFUC与HTEB同理亦然.∴HS=AD,HU=CF,HT=BE,∠SHA=∠HAD.记所对圆周角为,由AD∥BE,=知所对角为∠C,所对角为∠B,所对角为.∴所对角为B-C-.∴∠SHA=∠HAD=B-C-…①¡ñABCDEFC'B'HS¡ñ¡ñA'TUABPCMNEFABCMNEFHQGO34∠UHC=∠HCF=∠CCF=-=-=A-,∠AHC=180-∠CHA=B.∴∠UHA=180-∠CHU+∠AHC=C+…②同理可得∠THA=B-…③①+②得∠UHS=∠B;①-③得∠SHT=∠C.又=++=290-B+C+B-C-=290-.∴AD=2Rsin90-.∴HS=2Rsin90-.同理可计算出CF=2Rsin90-B+,BE=2Rsin90-C-.从而HU=2Rsin90-B+,HT=2Rsin90-C-.由此有HS:HU:HT=sin90-:sin90-B+:sin90-C-.综上我们得出了一些关于四边形HUST的性质:∠UHS=∠B,∠SHT=∠C,=,=.下面我们利用这些性质判定H、U、S、T四点共圆:作△XYZ∽△ABC,即∠X=∠A,∠Y=∠B,∠Z=∠C.在ZY与X异侧作∠ZYW1=90-B+,∠YZW2=90-C-.YW1与ZW2交于W,连接XW.∴∠ZWY=180-∠ZYW+∠YZW=180-180-B-C=∠B+∠C=180-∠ZXY.∴X、Z、W、Y四点共圆.∴∠XZW+∠XYW=180…*∠XYW=∠XYZ+∠ZYW=∠B+90-B+=90+,∠WXY=∠WZY=90-C-.∴由正弦定理知===.又∠YWX=∠YZX=∠C=∠THS,∴△WZX∽△HTS.从而∠WYX=∠HTS.同理可得∠WZX=∠HUS. *,∴∠HTS+∠HUS=180.从而H、T、S、U四点共圆.证毕.评注...

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