平面几何试题精选VIP免费

01凸四边形ABCD的对角线交于点M，点P、Q分别是△AMD和△CMB重心，R、S分别是△DMC和△MAB的垂心．求证PQ⊥RS．证：过A、C分别作BD的平行线，过B、D分别作AC的平行线．这四条直线分别相交于X、W、Y、Z．则四边形XWYZ为平行四边形，且XW∥AC∥XZ．则四边形XAMD、MBYC皆为平行四边形．由其对角线互相平分知MX在△AMD中线所在直线上，MY在△BMC中线所在直线上，且==．∴XY∥PQ．故欲证原命题，只需证XY⊥RS，这等价于SY2－SX2=RY2－RX2．下证上式：由S为△AMB垂心知SB⊥AMSB⊥WY．同理SA⊥WX．则勾股定理知SY2=SB2+BY2=BY2+SW2－WB2=BY2－WB2+SA2+WA2…①SX2=SA2+XA2…②①－②得SY2－SX2=BY2－WB2+WA2－XA2…③同理得RY2=YC2－ZC2+RD2+DA2,RX2=DX2+RD2．故RY2－RX2=YC2－ZC2+DZ2－DX2…④由XW∥DB∥YZ,WY∥AC∥XZ有BY=DZ,WB=XD,AW=YC,AX=ZC．比较③④两式右边即有SY2－SX2=RY2－RX2．由此即有XY⊥RS，从而得出PQ⊥RS，证毕．02已知E、F是△ABC两边AB、AC的中点，CM、BN是AB、AC边上的高，连线EF、MN相交于P点．又设O、H分别是△ABC的外心和垂心，连接AP、OH．求证AP⊥OH．同苏炜杰03证：引理：如图，设∠BAP=,∠BAP=，则=…①AP与AP重合．引理的证明：事实上，①式即==sinAcot－sinA=sinAcot－cosA=．¡ñ¡ñ¡ñABCDPQMRXYZSW()()ABPP''C¦Á¦Â即AP与AP重合．引理得证．回到原题：为了看得清，我们画两张图表示，过A作AQ⊥OH=Q．我们证明AP与AQ重合：由引理只需证=…①先看右图， E、P、F三点共线，以A为视点运用张角定理得=+．综合上二式有－sin∠1=－sin∠2=．又易有M、B、C、N四点共圆．∴AM·AB=AN·AC，即2AM·AE=2AN·AF．∴=…②再看右图， ∠AQH=∠ANH=∠AMH=90，∴A、M、Q、H；A、Q、H、N分别四点共圆．∴∠MHQ=∠3,∠BHQ=∠4．在△MOH与△BOH中分别运用正弦定理有=,=．两式相除有=，其中MOsin∠OMH=OMcos∠OME=EM．过O作OG⊥BN=G，由∠OGN=∠GNF=∠NFO=90知OGNF为矩形．∴OG=NF,OBsin∠OBN=OG=NF．∴=…③综合②③知①式成立，故AP⊥OH，证毕．03设H为△ABC的垂心，D、E、F为△ABC的外接圆上三点使得AD∥BE∥CF，S、T、U分别为D、E、F关于边BC、CA、AB的对称点．求证S、T、U、H四点共圆．同何长伟02，但解法不同证：我们先证明一些关于四边形HUST的性质：延长AH、BH、CH与△ABC外接圆交于A、B、C．熟知H与A关于BC对称，H与B关于AC对称，H与C关于AB对称．又D与S关于BC对称，故四边形DHAS关于BC对称．故DHAS必为等腰梯形．四边形HFUC与HTEB同理亦然．∴HS=AD,HU=CF,HT=BE,∠SHA=∠HAD．记所对圆周角为，由AD∥BE,=知所对角为∠C,所对角为∠B,所对角为．∴所对角为B－C－．∴∠SHA=∠HAD=B－C－…①¡ñABCDEFC'B'HS¡ñ¡ñA'TUABPCMNEFABCMNEFHQGO34∠UHC=∠HCF=∠CCF=－=－=A－,∠AHC=180－∠CHA=B．∴∠UHA=180－∠CHU+∠AHC=C+…②同理可得∠THA=B－…③①+②得∠UHS=∠B；①－③得∠SHT=∠C．又=++=290－B+C+B－C－=290－．∴AD=2Rsin90－．∴HS=2Rsin90－．同理可计算出CF=2Rsin90－B+,BE=2Rsin90－C－．从而HU=2Rsin90－B+,HT=2Rsin90－C－．由此有HS:HU:HT=sin90－:sin90－B+:sin90－C－．综上我们得出了一些关于四边形HUST的性质：∠UHS=∠B,∠SHT=∠C,=,=．下面我们利用这些性质判定H、U、S、T四点共圆：作△XYZ∽△ABC，即∠X=∠A,∠Y=∠B,∠Z=∠C．在ZY与X异侧作∠ZYW1=90－B+,∠YZW2=90－C－．YW1与ZW2交于W，连接XW．∴∠ZWY=180－∠ZYW+∠YZW=180－180－B－C=∠B+∠C=180－∠ZXY．∴X、Z、W、Y四点共圆．∴∠XZW+∠XYW=180…*∠XYW=∠XYZ+∠ZYW=∠B+90－B+=90+,∠WXY=∠WZY=90－C－．∴由正弦定理知===．又∠YWX=∠YZX=∠C=∠THS，∴△WZX∽△HTS．从而∠WYX=∠HTS．同理可得∠WZX=∠HUS． *，∴∠HTS+∠HUS=180．从而H、T、S、U四点共圆．证毕．评注...