2.10函数的最值巩固·夯实基础一、自主梳理求函数最值的常用方法有:1.配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值.2.判别式法:若函数y=f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2+b(y)x+c(y)=0,则在a(y)≠0时，由于x、y为实数，故必须有Δ=b2(y)-4a(y)·c(y)≥0,从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x值.3.不等式法:利用平均值不等式取等号的条件确定函数的最值.4.换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.5.数形结合法:利用函数图象或几何方法求出函数的最值.6.函数的单调性法.闭区间上的增函数或减函数的端点值即为函数的最值.二、点击双基1.函数f(x)=的最大值是()A.B.C.D.解析:∵1-x(1-x)=1-x+x2=(x-)2+≥，∴f(x)=≤,f(x)max=.答案:D2.若x2+y2=1,则3x-4y的最大值为()A.3B.4C.5D.6解析:∵x2+y2=1,∴可设x=cosα,y=sinα.∴3x-4y=3cosα-4sinα=5sin(α+φ)≤5.答案:C3.函数y=-x2-2ax(0≤x≤1)的最大值是a2,则实数a的取值范围是()A.0≤a<1B.0≤a≤2C.-2≤a≤0D.-1≤a≤0解析：因为函数y=-x2-2ax=-(x+a)2+a2(0≤x≤1)的最大值是a2.所以0≤-a≤1.所以-1≤a≤0.答案：D4.设x>0,y>0且3x+2y=12,则xy的最大值是________.解析:∵x>0,y>0,∴3x·2y≤()2=62xy≤6(当且仅当3x=2y时等号成立).答案:65.对任意实数x,函数f(x)取x、2x-1、7-x三者中的最小值,那么f(x)的最大值是________.解析:画图,通过数形结合易知最大值为3.5.答案:3.51诱思·实例点拨【例1】设a、b∈R,a2+2b2=6,则a+b的最小值是()A.-2B.-C.-3D.-解析:a2+2b2=6,+=1.设a=sinθ,b=cosθ,θ∈(0,2π),∴a+b=sinθ+cosθ=3sin(θ+φ)(其中tanφ=).∴a+b的最小值为-3.答案:C【例2】设f(t)=g(t)=-t+(0≤t≤40,t∈N*).求S=f(t)g(t)的最大值.解:当0≤t<20时，S=(t+11)·(-t+)=-(t+22)(t-43).∵=10.5,又t∈N,∴t=10或11时,Smax=176.当20≤t≤40时，S=(-t+41)(-t+)=(t-41)(t-43).∴t=20时,Smax=161.综上所述，S的最大值是176.【例3】某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y(单位:m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8m2，问x、y分别为多少时用料最省？(精确到0.001m)解:由题意得x·y+·x·=8,∴y=(0＜x＜4).于是,框架用料长度为L=2x+2y+2()=(+)x+≥2=4当且仅当(+)x=，即x==8-4，等号成立.此时，x≈2.343,y=2≈2.828.故当x为2.343m,y为2.828m时，用料最省.2
