第1页共13页毕业论文柯西不等式在高中数学中的应用及推广[摘要]本文主要介绍著名不等式——柯西不等式的几种证明方法及其在初等数学解题中的应用.同时对其在其他领域的推广进行了简要论述，并且对其在中学数学教学中的一些问题进行讨论，对柯西不等式在高中数学解题中的应用进行了广泛的取证并得到了证明，从而肯定了其在高中数学学习中的重要性.[关键词]柯西（Cauchy）不等式；应用函数最值；三角函数证明；不等式教学1引言中学教材和教辅读物中有不少地方都有一些高等数学知识的雏形和影子.在中学数学教学中，不等式的教学一直是一个难点，学生在学习和应用不等式同时，都会觉得解题中困难重重.而柯西不等式是著名的不等式之一，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解.柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题具有重要的应用.基于此，本文拟以柯西不等式为出发点，从其证明方法到推广及应用技巧等方面进行总结和归纳，并简谈其在中学数学中的一些应用.2柯西不等式的证明本文所说的柯西不等式是指(1)当且仅当时，等号成立.2.1构造二次函数证明首先当或时，不等式显然成立.令当中至少有一个不为零时，可知,构造二次函数展开得故的判别式,移项得,得证.2.2向量法证明令第2页共13页毕业设计则对向量有得当且仅当，即平行式等号成立.2.3数学归纳法证明a)当n=1时有，不等式成立.b)当n=2时因为，故有当且仅当，即时等号成立.c)假设n=k时等式不成立，即当且仅当时等号成立.d)那么当n=k+1时第3页共13页毕业设计当且仅当时等号成立.于是n=k+1时不等式成立.由a),b)c),d)可得对于任意的自然数n，柯西不等式成立.2.4利用恒等式证明先用数学归纳法证明如下恒等式，然后证明柯西不等式：对于两组实数有柯西—拉格朗日恒等式由实数性质可得柯西不等式成立.以上给出了柯西不等式的四种证法.利用四种不同的方法全面论证柯西不等式，能加深我们对柯西不等式的认识和理解，为其在数学解题方面的研究提供了更完备的参考理论.3柯西不等式的推广命题1若级数与收敛，则有不等式.证明由，收敛，可得因为收敛，且，从而有不等式成立.命题2若级数与收敛，且对有，则对定义在上的任意连续函数有不等式.证明因为函数在区间上连续，所以函数与、在上可积，将区间等分，取n每个小区间的左端点为，由积分的定义得第4页共13页毕业设计令则与收敛，由柯西不等式得从而有不等式命题3赫尔德不等式设满足，则等号成立的充分必要条件是.证明在证明时，对任何正数A和B，有.对凸函数有令代入上述不等式并对于k=1,2,,n,把这n个不等式相加得即第5页共13页毕业设计成立.等号成立的充分必要条件是.我们知道，柯西不等式在数学的各个分支里都有着极其广泛的应用，它在不同的领域有着不同的表现形式，对它的应用可谓灵活多样.柯西不等式在初等数学和高等数学中有着不菲的价值，它的应用充分体现了数学各领域间的内通性、渗透性和统一性.4柯西不等式的应用4.1在不等式的证明中，柯西不等式的作用柯西不等式可以直接运用到其他不等式的证明中，运用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数，并按照柯西不等式的形式进行探索.例1设定义在R上的函数，若且，求证：.分析要证明即证故只需证因为(2）又因且，故所以即所以.例2为互不相等的正整数，求证：对于任意正整数n,有不等式.证明由柯西不等式得第6页共13页毕业设计又因为为互不相等的正整数，故其中最小的数不小于1，次小的数不小于2，最大的不小于1，这样就有，所以有所以有.例3设，证明证明由柯西不等式，对任意的n个实数，有于是=4.2利用柯西不等式求最值例4已知实数满足,试求的最值.解由柯西不等式得(3)即，由条件可得：第7页共13页毕业设计解得当且仅当时等号成立.代入(3)式得时，；时，4.3求函数的极值柯西不等式也可以广泛的应用于求函数的极值或最值.事实上，由可得如将上式左边看做一个函数，而右边值确定时，则可知的最大值与最小值分别是与且取最大值与最小值的充分必要条件是.反过来，如果把柯西不等式右边的一个因式或两个的积当作函数，而其他的因式已知时，则可求出此函数的最小值.例5求函数的最大值.解首先求得函数的定义域...
