【创新设计】（浙江专用）2016-2017高中数学章末检测卷（二）新人教版必修4(时间：120分钟满分：150分)一、选择题1.已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量为()A.B.C.D.解析AB＝(3，－4)，|AB|＝5，∴＝.故选A.答案A2.在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是()A.e1＝(0，0)，e2＝(1，2)B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10)D.e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)解析法一若e1＝(0，0)，e2＝(1，2)，则e1∥e2，而a不能由e1，e2表示，排除A；若e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)，因为≠，所以e1，e2不共线，根据共面向量的基本定理，可以把向量a＝(3，2)表示出来，故选B.法二因为a＝(3，2)，若e1＝(0，0)，e2＝(1，2)，不存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，排除A；若e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)，设存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，则(3，2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以解得所以a＝2e1＋e2，故选B.答案B3.如图，已知AB是圆O的直径，点C、D等分AB，已知AB＝a，AC＝b，则AD等于()A.a－bB.a－bC.a＋bD.a＋b解析连接OC、OD、CD，则△OAC与△OCD为全等的等边三角形，所以四边形OACD为平行四边形，所以AD＝AO＋AC＝AB＋AC＝a＋b，故选D.答案D4.设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝()A.B.C.2D.10解析因为a⊥c，b∥c，所以有2x－4＝0且2y＋4＝0，解得x＝2，y＝－2，即a＝(2，1)，b＝(1，－2)，所以a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝，选B.答案B5.设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则a，b的夹角为()A.150°B.120°C.60°D.30°解析设|a|＝m(m>0)，a，b的夹角为θ，由题设知(a＋b)2＝c2，即2m2＋2m2cosθ＝m2，得cosθ＝－.又0°≤θ≤180°，所以θ＝120°，即a，b的夹角为120°，故选B.答案B6.如图，|OA|＝1，|OB|＝，OA·OB＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则等于()A.B.3C.D.解析 |OA|＝1，|OB|＝，OA·OB＝0，∴OA⊥OB，且∠OBC＝30°.又 ∠AOC＝30°，∴OC⊥AB.∴(mOA＋nOB)·(OB－OA)＝0，∴－mOA2＋nOB2＝0，∴3n－m＝0，即m＝3n，∴＝3.答案B7.已知点O为△ABC所在平面内一点，且OA2＋BC2＝OB2＋CA2＝OC2＋AB2，则O一定为△ABC的()A.垂心B.重心C.外心D.内心解析OA2＋BC2＝OB2＋CA2⇒OA2－OB2＝CA2－BC2⇒(OA－OB)·(OA＋OB)＝(CA－BC)·(CA＋BC)⇒BA·(OA＋OB)＝BA·(CA－BC)⇒BA·(OA＋OB－CA＋BC)＝0⇒2BA·OC＝0⇒BA⊥OC.同理CB⊥OA.所以O为△ABC的垂心.答案A8.已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若AE·AF＝1，CE·CF＝－，则λ＋μ＝()A.B.C.D.解析如图所示，以菱形ABCD的两条对角线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系xOy，不妨设A(0，－1)，B(－，0)，C(0，1)，D(，0)，由题意得CE＝(1－λ)·CB＝(λ－，λ－1)，CF＝(1－μ)CD＝(－μ，μ－1).因为CE·CF＝－，所以3(λ－1)·(1－μ)＋(λ－1)(μ－1)＝－，即(λ－1)(μ－1)＝.因为AE＝AC＋CE＝(λ－，λ＋1).AF＝AC＋CF＝(－μ，μ＋1)，又AE·AF＝1，所以(λ＋1)(μ＋1)＝2.由整理得λ＋μ＝.选C.答案C二、填空题9.如图，在△ABC中，AN＝NC，BP＝2PN，设AP＝xAB＋yAC，则x＝________，y＝________.解析因为AN＝NC，BP＝2PN，所以AP＝AB＋BP＝AB＋BN＝AB＋(AN－AB)＝AB＋×AC＝AB＋AC.答案10.设向量a＝(1，2m)，b＝(m＋1，1)，c＝(2，m)，若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.解析a＋c＝(3，3m)，(a＋c)·b＝3(m＋1)＋3m＝0⇔m＝－⇒|a|＝.答案11.已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________.解析由(a＋2b)·(a－b)＝－6得a2－2b2＋a·b＝－6. |a|＝1，|b|＝2，∴12－2×22＋1×2×cos〈a，b〉＝－6，∴cos〈a，b〉＝. 〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.答案12.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为________；DE·DC的最大值为____________.解析以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示.则D(0，0)，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)，设E(1，a)(0≤a≤1).所以DE·CB＝(1，a)·(1，0)＝1，DE·DC＝(...
