课时分层作业(六)全称量词与存在量词(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列命题中是存在量词命题的是()A．平行四边形的对边相等B．同位角相等C．任何实数都存在相反数D．存在实数没有倒数[答案]D2．将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为()A．对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立C．对任意x＞0，y＞0，都有x2＋y2≥2xy成立D．存在x＜0，y＜0，使x2＋y2≤2xy成立A[本题中的命题仅保留了结论，省略了条件“任意实数x，y”，改成全称命题为：对任意实数x，y，都有x2＋y2≥2xy成立．]3.已知命题p：∃n∈N，2n＞1000，则p的否定为()A．∀n∈N，2n≤1000B．∀n∈N，2n＞1000C．∃n∈N，2n≤1000D．∃n∈N，2n＜1000A[存在量词命题的否定是全称量词命题，“＞”的否定是“≤”，故选A.]4．设x∈Z，A是奇数集，B是偶数集，则“∀x∈A，2x∈B”的否定是()A．∀x∈A，2xBB．∀xA，2xBC．∃xA，2x∈BD．∃x∈A，2xB[答案]D5．下列命题中的假命题是()A．∃x∈R，x3≤0B．∃x∈R，<0C．∀x∈R，x2≥0D．∀x∈R，>0D[当x＝－1时，＝0，故选D.]二、填空题6．将“方程x2＋1＝0无实根”改写成含有一个量词的命题的形式，可以写成________．[答案]∀x∈R，x2＋1≠07．“对任意x∈R，若y>0，则x2＋y>0”的否定是________．[答案]存在x∈R，若y>0，则x2＋y≤08．对于命题：①任意x∈N，都有x2>0；②任意x∈Q，都有x2∈Q；③存在x∈Z，x2>1；④存在x，y∈R，使|x|＋|y|>0，其中是全称量词命题并且是真命题的是________．(填序号)②[只有①②是全称量词命题，当x＝0时，x2＝0，所以①是假命题．]三、解答题9．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假．(1)所有的实数a、b，方程ax＋b＝0恰有惟一解．(2)存在实数x，使＝.[解](1)该命题是全称量词命题．当a＝0，b＝0时方程有无数解，故该命题为假命题．(2)该命题是存在量词命题．∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，∴≤<.故该命题是假命题．10．已知命题“对任意x∈R，x2－5x＋a＞0”的否定为假命题，求实数a的取值范围．[解]由“对任意x∈R，x2－5x＋a＞0”的否定为假命题，可知命题“对任意x∈R，x2－5x＋a＞0”必为真命题，即不等式x2－5x＋a＞0对任意实数x恒成立．设y＝x2－5x＋a，则其图象恒在x轴的上方．故Δ＝25－4×a＜0，解得a＞，即实数a的取值范围为a＞.11．下列全称量词命题中真命题的个数是()①末位是零的整数，可被5整除②角平分线上任意一点到这个角的两边的距离相等③∀x∈Z，2x2＋1是奇数A．0B．1C．2D．3[答案]D12．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是()A．所有不能被2整除的数都是偶数B．所有能被2整除的数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的数是偶数D．存在一个能被2整除的数不是偶数D[把全称量词改为存在量词，并把结果否定．]13．命题：“对任意k>0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是()A．对任意k≤0，方程x2＋x－k＝0有实根B．对任意k≤0，方程x2＋x－k＝0无实根C．存在k>0，使方程x2＋x－k＝0无实根D．存在k>0，使方程x2＋x－k＝0有实根C[“对任意k>0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是“存在k>0，使方程x2＋x－k＝0无实根”，故选C.]14．若“∃x∈R，x2＋3x＋m＝0”是真命题，则实数m的取值范围是________．m≤[由已知，得Δ＝32－4m≥0，解得，m≤，所以，实数m的取值范围是m≤.]15．已知“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，求实数a的取值范围．[解]根据题意得，ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，，解得－3≤a<0，故－3≤a≤0.
