高中数学 第一章 三角函数 1.7 正切函数例题与探究（含解析）北师大版必修4-北师大版高一必修4数学试题VIP免费

1.7正切函数典题精讲1.如何快速作出正切函数的图像？剖析：我们知道五点法可以快速画出正、余弦函数的图像的草图.正切函数的图像不是连续的曲线，不同于正、余弦函数的图像.其突破方法是从正切函数的图像和性质上来分析，找出画草图的方法.由于正切函数的定义域为{x|x≠+kπ,k∈Z}，所以函数的图像被垂直于x轴的直线x=kπ+(k∈Z)所隔开，但两端连续的无限接近这些平行线，所以直线x=kπ+(k∈Z)称为正切函数的渐近线.画正切函数的图像时，也是先画一个周期的图像即函数y=tanx,x∈(-,)的图像，再把这一图像向左、右平移（每次平移π个单位长度），从而得到正切函数的图像.函数y=tanx,x∈(-,)的作图，通过图像的特点将发现,函数的图像过(-,-1),(,1),(0,0)三点，以直线x=±为渐近线，这样根据这三点两线就可以大体勾画出正切函数图像的草图.2.为什么正切函数的最小正周期是π？剖析：疑点是正切函数是周期函数，是否还有比π更小的正周期.其突破方法是利用反证法，结合周期函数的定义来理解、分析. tan(x+π)=tanx，∴正切函数是周期函数，π是一个周期.假设存在一个非零常数T，且0＜T＜π,使对任意x∈(kπ-,kπ+）(k∈Z)，总有tan(x+T)=tanx成立.不妨令x=0，则tanT=tan0=0，则T=kπ(k∈N*).∴T=kπ≥π，这与假设0＜T＜π矛盾.∴假设不成立,即正切函数的最小正周期是π.典题精讲例1(2005湖南高考卷，文2)tan600°的值是（）A.B.C.-D.思路解析：运用诱导公式化为锐角求值.tan600°=tan(180°×3+60°)＝tan60°=.答案：D变式训练1tan()=____________.思路解析：tan()=-tan=-tan(7π+)=-tan＝-.答案：-变式训练2比较tan(）与tan()的大小.思路分析：同名函数比较大小时，应化为同一单调区间上两个角的函数值后，应用函数的单调性解决；而对于不同名函数，则应先化为同名函数再按上面方法求解.解： tan()=-tan,tan()=-tan,又 0＜＜,y=tanx在(0,）内单调递增，∴tan＜tan.∴-tan＞-tan，即tan()＞tan().例2（经典回放）若sinθcosθ＞0，则θ在（）A.第一、二象限B.第一、三象限C.第一、四象限D.第二、四象限思路解析：利用sinθ和cosθ的符号确定θ所在的象限.方法一： sinθcosθ＞0，∴sinθ＞0，cosθ＞0或sinθ＜0，cosθ＜0.当sinθ＞0且cosθ＞0时，θ在第一象限；当sinθ＜0且cosθ＜0时，θ在第三象限.综上可得θ在第一、三象限.方法二：sinθcosθ＞0＞0tanθ＞0，则θ在第一、三象限.答案：B绿色通道：已知同角的某两个三角函数积或商的符号，可通过分类讨论来确定判断此角所在的象限；还可以把已知两个三角函数积或商的符号化归为此角的另一个三角函数值的符号后，再判断此角所在的象限.变式训练1若sinθtanθ＜0，则θ在（）A.第一、二象限B.第一、三象限C.第一、四象限D.第二、三象限思路解析：方法一： sinθcosθ＜0，∴sinθ＜0，tanθ＞0或sinθ＜0，tanθ＞0.当sinθ＞0，tanθ＜0时，θ在第二象限；当sinθ＜0，tanθ＞0时，θ在第三象限.综上，可得θ在第二、三象限.方法二：sinθtanθ＜0＜0cosθ＜0，θ在第二、三象限.答案：D变式训练2已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则|tan|等于（）A.tanB.-tanC.±tanD.思路解析：由于点P在第三象限，则tanα＜0,cosα＜0，所以α的终边在第二象限，则在第一、三象限，则tan＞0，则有|tan|=tan.答案：A例3求函数y=tan(3x-）的定义域、值域，并指出它的单调性.思路分析：利用整体原则，把3x-看作一个整体.解：令3x-≠kπ+(k∈Z)，得x≠+，∴函数的定义域为{x|x∈R且x≠+,k∈Z},值域为R.由y=tanx，x∈(kπ-,kπ+）(k∈Z)是增函数，∴令kπ-＜2x-＜kπ+(k∈Z)，即-＜x＜+(k∈Z).∴函数的单调递增区间为(-,+)(k∈Z).绿色通道：函数y=Atan(ωx+φ)（其中，A≠0,ω＞0）的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是（1）把“ωx+φ(ω＞0)”看为一个“整体”；（2）A＞0(A＜0)时，y=tanx(x≠+kπ)的单调区间对应的不等式相同（反）.变式训练1(2006全国高考卷Ⅰ，理5)函数f(x)=tan(x+)的单调增区间为（）A.(kπ-,kπ+),k∈ZB.(kπ,(k+1)π),k∈ZC.(kπ-,kπ+),k∈ZD.(kπ-,kπ+),k∈Z思路解析：利用整体策略...