河南省滑县教师进修学校高三数学专题突破之折叠问题的处理技巧知识分析VIP专享VIP免费

河南省滑县教师进修学校申治国的专题突破之《折叠问题的处理技巧》考点动向折叠问题在教材中有所体现，也是立体几何传统的典型问题，符合高考试题源于课本高于课本的基本命题理念，同时，折叠问题既可以考查空间想象能力，也考查学生的动手能力及比较等思维方式，因此，一直是备考与命题的重点．方法范例例１（2005·湖南）如图７－１，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴1OO折成直二面角．（Ⅰ）证明：1ACBO；（Ⅱ）求二面角1OACO的大小．ABCDOO1ABOCO1D图７－１解析本题是立体几何中有证有求的典型问题，可以不借助向量解答，借助三垂线定理证明直线异面垂直，然后作二面角的平面角，并解之．也可以借助空间向量，转化为直线的方向向量及平面法向量的关系问题解答．解法１（I）证明：由题设知1OAOO，1OBOO．所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB．故可以O为原点，1,,OAOBOO所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图７－２，则相关各点的坐标是(3,0,0)A，(0,3,0)B，(0,1,3)C，1(0,0,3)O．从而(3,1,3)AC�，1(0,3,3)BO�，13330ACBO�．所以1ACBO．（II）解：因为13330BOOC�，所以1OCBO，由（I）1ACBO，所以1BO平面OAC，1BO是平面OAC的一个法向量．设),,(zyxn是平面1OAC的一个法向量，由10330,0.0nACxyzynOC����取3z，得)3,0,1(n．设二面角1OACO的大小为，由n、1BO的方向可知n，1BO>，所以1113coscos,4||||nBOnBOnBO������．即二面角1OACO的大小是3arccos4．解法２（I）证明：由题设知1OAOO，1OBOO，所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB．从而AO平面1OBCO，OC是AC在面1OBCO内的射影．因为11tan3OBOOBOO，1113tan3OCOOCOO，所以13OOB，16OOC，从而1OCBO，由三垂线定理得1ACBO．（II）解由（I）1OCBO，1ACBO，知1BO平面OAC．设1OCOBE，过点E作EFAC于F，连结1OF（如图７－３），则EF是1OF在平面AOC内的射影，由三垂线定理得1OFAC．所以1OFE是二面角1OACO的平面角．由题设知113,3,1OAOOOC，所以221123OAOAOO，221113ACOAOC，从而1332111ACCOAOFO，又113sin62OEOO，所以11113sin4OEOFEOF，即二面角1OACO的大小是3arcsin4．[规律小结]折叠问题往往描述的也是一个运动变化的过程，因此，首先需要能够想象出折叠的过程，并对折叠前后相应的数量关系和位置关系的变化有十分清楚的认识，特别是那些没有变化的量及位置关系，往往对解题起到关键性的作用．考点误区分析解答折叠类问题，最忌没有认识到折叠前后的变化就盲目解答，要加强对比，认识变化产生的解题影响及作用．需要培养读图能力以及动手能力，在平时训练时，需要对折叠问题涉及的图形进行动手演示观察的，就要亲自动手做一下，直到考试时不用动手也可以想到具体情形．同步训练１．（2005·浙江）设,MN是直角梯形ABCD两腰的中点，DEAB于E（如图７－４）．现将ADE△沿DE折起，使二面角ADEB为45，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则,MN的连线与AE所成角的大小等于_________．２．（2006·山东）如图７－５，在等腰梯形ABCD中，22ABCD，60DAB，E为AB的中点，将ADE△与BEC△分别沿,EDEC向上折起，使,AB重合于点P，则PDCE三棱锥的外接球的体积为（）．()A2734()B26()C86()D246３．（2006·江苏）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图７－５）．将△AEF沿EF折起到1AEF△的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P．（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；（Ⅲ）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示）［参考答案］１．［解析］如图７－６，可知BEA为二面角ADEB的平面角，于是45BEA，又可知ABBE，则取AE中点P，有MPNB∥，等腰直角三角形ABE中，有AEBP，则AEMN．［答案］90．２．［解析］所求实际为棱长为１的正四面体的外接球的体积，可将正四面体嵌入正方体中，使正四面体顶点恰好是正方体的顶点，则正方体的棱长为22，则球半径为64．［答案］()C．３．［答案］（Ⅱ）3；（Ⅲ）87arccos．