河南省滑县教师进修学校申治国的专题突破之《折叠问题的处理技巧》考点动向折叠问题在教材中有所体现，也是立体几何传统的典型问题，符合高考试题源于课本高于课本的基本命题理念，同时，折叠问题既可以考查空间想象能力，也考查学生的动手能力及比较等思维方式，因此，一直是备考与命题的重点．方法范例例１（2005·湖南）如图７－１，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴1OO折成直二面角．（Ⅰ）证明：1ACBO；（Ⅱ）求二面角1OACO的大小．ABCDOO1ABOCO1D图７－１解析本题是立体几何中有证有求的典型问题，可以不借助向量解答，借助三垂线定理证明直线异面垂直，然后作二面角的平面角，并解之．也可以借助空间向量，转化为直线的方向向量及平面法向量的关系问题解答．解法１（I）证明：由题设知1OAOO，1OBOO．所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB．故可以O为原点，1,,OAOBOO所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图７－２，则相关各点的坐标是(3,0,0)A，(0,3,0)B，(0,1,3)C，1(0,0,3)O．从而(3,1,3)AC�，1(0,3,3)BO�，13330ACBO�．所以1ACBO．（II）解：因为13330BOOC�，所以1OCBO，由（I）1ACBO，所以1BO平面OAC，1BO是平面OAC的一个法向量．设),,(zyxn是平面1OAC的一个法向量，由10330,0.0nACxyzynOC����取3z，得)3,0,1(n．设二面角1OACO的大小为，由n、1BO的方向可知n，1BO>，所以1113coscos,4||||nBOnBOnBO������．即二面角1OACO的大小是3arccos4．解法２（I）证明：由题设知1OAOO，1OBOO，所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB．从而AO平面1OBCO，OC是AC在面1OBCO内的射影．因为11tan3OBOOBOO，1113tan3OCOOCOO，所以13OOB，16OOC，从而1OCBO，由三垂线定理得1ACBO．（II）解由（I）1OCBO，1ACBO，知1BO平面OAC．设1OCOBE，过点E作EFAC于F，连结1OF（如图７－３），则EF是1OF在平面AOC内的射影，由三垂线定理得1OFAC．所以1OFE是二面角1OACO的平面角．由题设知113,3,1OAOOOC，所以221123OAOAOO，221113ACOAOC，从而1332111ACCOAOFO，又113sin62OEOO，所以11113sin4OEOFEOF，即二面角1OACO的大小是3arcsin4．[规律小结]折叠问题往往描述的也是一个运动变化的过程，因此，首先需要能够想象出折叠的过程，并对折叠前后相应的数量关系和位置关系的变化有十分清楚的认识，特别是那些没有变化的量及位置关系，往往对解题起到关键性的作用．考点误区分析解答折叠类问题，最忌没有认识到折叠前后的变化就盲目解答，要加强对比，认识变化产生的解题影响及作用．需要培养读图能力以及动手能力，在平时训练时，需要对折叠问题涉及的图形进行动手演示观察的，就要亲自动手做一下，直到考试时不用动手也可以想到具体情形．同步训练１．（2005·浙江）设,MN是直角梯形ABCD两腰的中点，DEAB于E（如图７－４）．现将ADE△沿DE折起，使二面角ADEB为45，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则,MN的连线与AE所成角的大小等于_________．２．（2006·山东）如图７－５，在等腰梯形ABCD中，22ABCD，60DAB，E为AB的中点，将ADE△与BEC△分别沿,EDEC向上折起，使,AB重合于点P，则PDCE三棱锥的外接球的体积为（）．()A2734()B26()C86()D246３．（2006·江苏）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图７－５）．将△AEF沿EF折起到1AEF△的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P．（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；（Ⅲ）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示）［参考答案］１．［解析］如图７－６，可知BEA为二面角ADEB的平面角，于是45BEA，又可知ABBE，则取AE中点P，有MPNB∥，等腰直角三角形ABE中，有AEBP，则AEMN．［答案］90．２．［解析］所求实际为棱长为１的正四面体的外接球的体积，可将正四面体嵌入正方体中，使正四面体顶点恰好是正方体的顶点，则正方体的棱长为22，则球半径为64．［答案］()C．３．［答案］（Ⅱ）3；（Ⅲ）87arccos．
