章末综合能力测试时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，A＝45°，B＝60°，a＝10，则b＝()A．5B．10C.D．5解析：由正弦定理得，＝，∴b＝·10＝×10＝5.答案：D2．某人先向正东方向走了xkm，然后他向右转150°，向新的方向走了3km，结果他离出发点恰好为km，那么x的值为()A.B．2C．2或D．3解析：根据余弦定理可得：()2＝x2＋32－2×3x×cos(180°－150°)，即x2－3x＋6＝0.∴x＝2或.答案：C3．在△ABC中，若(a－acosB)sinB＝(b－ccosC)sinA，则这个三角形是()A．底角不等于45°的等腰三角形B．锐角不等于45°的直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：由正弦定理得asinB＝bsinA.故asinBcosB＝csinAcosC，sinAsinBcosB＝sinCsinAcosC，∴sin2B＝sin2C.故B＝C或2B＝π－2C，即B＋C＝.∴这个三角形为直角三角形或等腰三角形．答案：D4．在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sin2－cos2C＝，且a＋b＝5，c＝，则△ABC的面积为()A.B.C.D.解析：因为4sin2－cos2C＝，所以2[1－cos(A＋B)]－2cos2C＋1＝，2＋2cosC－2cos2C＋1＝，cos2C－cosC＋＝0，解得cosC＝，故sinC＝.根据余弦定理有cosC＝＝，ab＝a2＋b2－7，3ab＝a2＋b2＋2ab－7＝(a＋b)2－7＝25－7＝18，ab＝6.所以S＝absinC＝×6×＝.答案：A5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为()A.B．－C.D．－解析：由正弦定理得到边b，c的关系，代入余弦定理的变式求解即可．由2sinB＝3sinC及正弦定理得2b＝3c，即b＝c.又b－c＝a，∴c＝a，即a＝2c.由余弦定理得cosA＝＝＝＝－.答案：B6．△ABC的三边长分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆的直径为()A．4B．5C．5D．6解析： S△ABC＝2，∴acsinB＝2.∴×1×c×＝2，∴c＝4. b2＝a2＋c2－2accosB，∴b2＝12＋(4)2－2×1×4×＝25，∴b＝5.1 ＝2R，∴2R＝＝5，故选C.答案：C7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若cosB＝，＝2，且S△ABC＝，则b＝()A．4B．3C．2D．1解析：依题意得c＝2a，b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋(2a)2－2×a×2a×＝4a2，所以b＝c＝2a，sinB＝＝.又因为S△ABC＝acsinB＝××b×＝，所以b＝2.答案：C8．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝()A.B.C.D.解析：由3sinA＝5sinB可得3a＝5b，又因为b＋c＝2a，所以可令a＝5t，b＝3t，c＝7t(t>0)，可得cosC＝＝－，故C＝.答案：B9．若锐角△ABC的三边a，b，c满足f(x)＝b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2，则f(x)的图象()A．与x轴相切B．在x轴上方C．在x轴下方D．与x轴交于两点解析：(b2＋c2－a2)2－4b2c2＝(2bccosA)2－4b2c2＝4b2c2(cos2A－1)． 0<∠A<，∴cos2A－1<0.∴(b2＋c2－a2)2－4b2c2<0，即抛物线开口向上与x轴没有交点．答案：B10．在△ABC中，三个角满足2A＝B＋C，且最大边与最小边分别是方程3x2－27x＋32＝0的两根，则△ABC的外接圆的面积是()A.B.C.D.解析： 2A＝B＋C，∴A＝，B＋C＝，A为中间角，不妨设B≥A≥C.设方程的两根即△ABC的最大边和最小边分别为b，c，则由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc(1＋cosA)＝81－32＝49，∴a＝7.由＝2R，知R＝＝.∴S外接圆＝πR2＝.答案：B11．在△ABC中，B＝60°，C＝45°，BC＝8，D为BC上一点，AD＝4(3－)，BD＝λBC，则λ的值为()A.B.C.D.解析：在△ABC中，如右图． B＝60°，C＝45°，∴∠BAC＝75°.由正弦定理，得＝＝，即AB＝＝8(－1)，AC＝＝4(3－)． AC>AB>AD，且BD＝λBC，0<λ<1，∴BD＝8λ.在△ABD和△ADC中，由余弦定理的推论，得cos∠BDA＝，cos∠ADC＝. cos∠BDA＝－cos∠ADC，将已知代入化简，得2λ2＋(2－2)λ－(－2)＝0，解得λ＝，故选C.答案：C12．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则∠A的取值范围是()A.B.C.D.解析：在△ABC中，由正弦定理，可得sinA＝，sinB＝，sinC＝(其中R为△ABC外接圆的半径)，由sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，可得a2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a...
