(三)函数与导数(1)1．已知函数f(x)＝(ax2＋x＋2)ex(a＞0)，其中e是自然对数的底数．(1)当a＝2时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在[－2,2]上是单调增函数，求a的取值范围；(3)当a＝1时，求整数t的所有值，使方程f(x)＝x＋4在[t，t＋1]上有解．解(1)f(x)＝(2x2＋x＋2)ex，则f′(x)＝(2x2＋5x＋3)ex＝(x＋1)(2x＋3)ex，令f′(x)＝0,得x＝－1，－，x(－∞，－)－(－，－1)－1(－1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)增极大值减极小值增∴f(x)极大值＝f(－)＝5e－，f(x)极小值＝f(－1)＝3e－1.(2)问题转化为f′(x)＝[ax2＋(2a＋1)x＋3]ex≥0在x∈[－2,2]上恒成立；又ex＞0即ax2＋(2a＋1)x＋3≥0在x∈[－2,2]上恒成立；令g(x)＝ax2＋(2a＋1)x＋3， a＞0，对称轴x＝－1－<0.①当－1－≤－2，即0
时，g(x)在[－2，－1－]上单调递减，在[－1－，2]上单调递增，∴Δ＝(2a＋1)2－12a≤0，解得：1－≤a≤1＋，∴＜a≤1＋，综上，a的取值范围是(0,1＋]．(3) a＝1，设h(x)＝(x2＋x＋2)ex－x－4，h′(x)＝(x2＋3x＋3)ex－1，令φ(x)＝(x2＋3x＋3)ex－1，φ′(x)＝(x2＋5x＋6)ex，令φ′(x)＝(x2＋5x＋6)ex＝0，得x＝－2，－3.x(－∞，－3)－3(－3，－2)－2(－2，＋∞)φ′(x)＋0－0＋φ(x)增极大值减极小值增∴φ(x)极大值＝φ(－3)＝－1<0，φ(x)极小值＝φ(－2)＝－1<0. φ(－1)＝－1<0，φ(0)＝2>0，∴存在x0∈(－1,0)，x∈(－∞，x0)时，φ(x)＜0，x∈(x0，＋∞)时，φ(x)＞0，∴h(x)在(－∞，x1)上单调递减，在(x1，＋∞)上单调递增，又 h(－4)＝>0，h(－3)＝－1<0，h(0)＝－2<0，h(1)＝4e－5>0.由零点存在性定理可知：h(x)＝0的根x1∈(－4，－3)，x2∈(0,1)，即t＝－4,0.2．(2016·课标全国乙)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．解(1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)．(ⅰ)设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(ⅱ)设a<0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．①若a＝－，则f′(x)＝(x－1)(ex－e)，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．②若a>－，则ln(－2a)<1，故当x∈(－∞，ln(－2a))∪(1，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(ln(－2a)，1)时，f′(x)<0.所以f(x)在(－∞，ln(－2a))，(1，＋∞)上单调递增，在(ln(－2a)，1)上单调递减．③若a<－，则ln(－2a)>1，故当x∈(－∞，1)∪(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)<0.所以f(x)在(－∞，1)，(ln(－2a)，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a))上单调递减．(2)(ⅰ)设a>0，则由(1)知，f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．又f(1)＝－e，f(2)＝a，取b满足b<0且b(b－2)＋a(b－1)2＝a>0，所以f(x)有两个零点．(ⅱ)设a＝0，则f(x)＝(x－2)ex，所以f(x)只有一个零点．(ⅲ)设a<0，若a≥－，则由(1)知，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．又当x≤1时，f(x)<0，故f(x)不存在两个零点；若a<－，则由(1)知，f(x)在(1，ln(－2a))上单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)上单调递增．又当x≤1时，f(x)<0，故f(x)不存在两个零点．综上，a的取值范围为(0，＋∞)．3．(2016·山东)设f(x)＝xlnx－ax2＋(2a－1)x，a∈R.(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．解(1)由f′(x)＝lnx－2ax＋2a，可得g(x)＝lnx－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)，所以g′(x)＝－2a＝.当a≤0，x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增；当a＞0，x∈时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增，x∈时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减．所以当a≤0时，g(x)的单调增区间为(0，＋∞)；当a＞0时，g(x)的单调增区间为，单调减区间为.(2)由(1)知，f′(1)＝0.①当a≤0时，f′(x)单调递增，所以当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意．②当0＜a＜时，＞1，由(1)知f′(x)在内单调递增．...
