湖南省新田一中高中数学必修二课时作业：2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系基础达标1．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()．A．相交B．异面C．异面或相交D．平行解析如图有两种情况．答案C2．a、b为异面直线是指①a∩b＝∅，且a不平行于b；②a⊂平面α，b⊄平面α，且a∩b＝∅；③a⊂平面α，b⊂平面β，且α∩β＝∅；④不存在平面α能使a⊂α，且b⊂α成立．()．A．①②③B．①③④C．②③D．①④解析②③中的a，b有可能平行，①④符合异面直线的定义．答案D3．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线()．A．有无数条B．有两条C．至多有两条D．有一条解析我们现在研究的平台是锥空间．如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角．答案A4．在平行六面体ABCDA1B1C1D1(底面为平行四边形的柱体)中，既与AB共面也与CC1共面的棱的有________条．解析如图所示，与AB共面也与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条．答案55．如图，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________(填序号)．解析①中HG∥MN；③中GM∥HN且GM≠HN，所以直线HG与MN必相交．答案②④16．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上结论中正确的是________(填序号)．解析把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．答案①③7．如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，求异面直线A1B与AD1所成角的余弦值．解连接A1C1，BC1，由A1B1綉D1C1，A1B1綉AB，得AB綉D1C1，∴BC1綉AD1，∴∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角或其补角．如右图所示，过B，C1分别作BM⊥A1C1，垂足为M，C1N⊥A1B，垂足为N.由已知可设A1B1＝1，则AA1＝BB1＝2，∴A1B＝BC1＝，A1C1＝.∴点M是A1C1中点，∴A1M＝.∴cos∠BA1C1＝＝＝.∵在Rt△A1NC1中，A1N＝A1C1cos∠BA1C1＝，∴BN＝A1B－A1N＝－＝.∴cos∠A1BC1＝＝×＝.能力提升8．在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且异面直线AB与CD所成的角为30°，E、F分别是边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角等于()．A．15°B．30°C．75°D．15°或75°解析如图，设G是AC中点，分别连接EG、GF，由已知得EG綉AB，FG綉CD，∴∠EGF是AB和CD所成角或是其补角．∵AB＝CD，∴EG＝GF.当∠EGF＝30°时，AB和EF所成角∠GEF＝75°，当∠EGF＝150°时，AB和EF所成角∠GEF＝15°.答案D9．(2012·连云港高一检测)在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的序号是________．解析如图①所示，点O，E分别为所在线段的中点，所以OE∥CD，AB与OE所成的角就是AB与CD所成的角，又因为正方体可得AE＝BE，∴AB⊥OE，∴AB⊥CD.2图①AB与CD所成的角如图②所示，其大小为60°.图②AB与CD所成的角如图③所示，其大小为45°.图③AB与CD所成的角如图④所示，是直角三角形中的一个锐角．图④答案①10．如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD，BC＝AD，BE∥FA，BE＝FA，G，H分别为FA，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？(1)证明由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH∥AD，GH＝AD.又BC∥AD，BC＝AD，∴GH∥BC，GH＝BC，∴四边形BCHG为平行四边形．(2)解C，D，F，E四点共面．证明如下：由BE∥FA，BE＝FA，G为FA中点知，BE∥FG，BE＝FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG，EF＝BG.由(1)知BG∥CH，BG＝CH，3∴EF∥CH，EF＝CH，∴四边形EFHC是平行四边形，∴CE与HF共面，又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．4
