§4.3三角函数的图象与性质1．“五点法”作图(1)在确定正弦函数y＝sinx在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是__________________，______________，______________，______________，________________．(2)在确定余弦函数y＝cosx在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是__________________，______________，______________，______________，________________．2．周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有________________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的________________．3．三角函数的图象和性质函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域①________②________③_______图象值域④________⑤________R对称性对称轴：⑥________；对称中心：⑦_______对称轴：⑧________；对称中心：⑨________无对称轴；对称中心：⑩______最小正周期⑪________⑫_________⑬_______单调性单调增区间⑭________；单调增区间⑮________单调减区间⑯________；单调减区间⑰________单调增区间⑱_______奇偶性⑲________⑳________○_______自查自纠1．(1)(0，0)(π，0)(2π，0)(2)(0，1)(π，－1)(2π，1)2．f(x＋T)＝f(x)最小正周期3．①R②R③④[－1，1]⑤[－1，1]⑥x＝kπ＋(k∈Z)⑦(kπ，0)(k∈Z)⑧x＝kπ(k∈Z)⑨(k∈Z)⑩(k∈Z)⑪2π⑫2π⑬π⑭(k∈Z)⑮(k∈Z)⑯[2kπ－π，2kπ](k∈Z)⑰[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)⑱(k∈Z)⑲奇函数⑳偶函数○奇函数下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是()A．y＝cosB．y＝sinC．y＝sin2x＋cos2xD．y＝sinx＋cosx解：y＝cos＝－sin2x，最小正周期为π，且其图象关于点(k∈Z)对称，k＝0时为原点．故选A.()下列函数中，周期为π且在上是减函数的是()A．y＝sinB．y＝cosC．y＝sin2xD．y＝cos2x解：对于函数y＝cos2x，T＝π，当x∈时，2x∈[0，π]，y＝cos2x是减函数．故选D.()y＝sin的图象的一个对称中心是()A．(－π，0)B.C.D.解：令x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，于是是y＝sin的图象的一个对称中心．故选B.()函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域为____________．解： 3－4sin2x＞0，∴sin2x＜，∴－＜sinx＜.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x∈(k∈Z)．故填(k∈Z)．函数f(x)＝sin(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝__________.解： 函数f＝sin是偶函数，∴＝＋kπ，φ＝＋3kπ，k∈Z.又 φ∈，∴φ＝.故填.类型一三角函数的定义域、值域(1)函数y＝lg(sinx－cosx)的定义域是____________．解：要使函数有意义，必须使sinx－cosx＞0.解法一：利用图象．在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示：在[0，2π]内，满足sinx＝cosx的x为，，在内sinx＞cosx，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为{x＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z}．解法二：利用三角函数线．如图，MN为正弦线，OM为余弦线，要使sinx＞cosx，只须＜x＜(在[0，2π]内)．∴定义域为{x|＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z}．解法三：sinx－cosx＝sin＞0，由正弦函数y＝sinx的图象和性质可知2kπ＜x－＜π＋2kπ，解得2kπ＋＜x＜＋2kπ，k∈Z.∴定义域为.故填.【点拨】①求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式)；②求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴③对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式(组)分别求解，然后利用数轴或三角函数线求交集．(2)函数y＝－3sin2x－4cosx＋4，x∈的值域是________．解：原式＝3cos2x－4cosx＋1＝3－， x∈，∴cosx∈.∴当cosx＝－，即x＝π时，y有最大值；当cosx＝，即x＝时，y有最小值－.∴值域为.故填.(3)已知函数f(x)＝cos，求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．解： －≤x≤0，∴－π≤2x＋≤，∴当2x＋＝－π，即x＝－时，f(x)有最小值，f(x)min＝－1；当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)有最大值，f(x)max＝，即f(x)在上的最小值为－1，最...
