1.8最小二乘估计一、选择题1．过三点(3,10)，(7,20)，(11,24)的线性回归直线方程是()A．y＝1.75－5.75xB．y＝－1.75＋5.75xC．y＝5.75＋1.75xD．y＝5.75－1.75x答案C解析根据求线性回归方程的方法，利用公式可得到答案．2．抽测10只某种白炽灯的使用寿命x，结果如下(单位：h)：1067,919,1196,785，t,936,918,1156,920,918，若x＝997，则t大约是()A．1120B．1124C．1155D．1128答案C3．在线性回归方程中，b表示()A．当x增加一个单位时，y增加a的数量B．当y增加一个单位时，x增加b的数量C．当x增加一个单位时，y的平均变化量D．当y增加一个单位时，x的平均变化量答案C解析本题主要考查线性回归方程中a，b的含义．4．由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到线性回归方程y＝bx＋a，那么下列说法中错误的是()A．直线y＝bx＋a必经过点(x，y)B．直线y＝bx＋a至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点C．直线y＝bx＋a的斜率为b＝D．直线y＝bx＋a和各点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的偏差的平方和yi－(bxi＋a)]2是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差的平方和中最小的答案B解析理解线性回归方程的真正含义．因为y＝bx＋a，其中x＝(x1＋x2＋…＋xn)，y＝(y1＋y2＋…＋yn)，显然回归直线经过点(x，y)．故A是正确的．回归直线最能近似刻画点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的变化趋势，但并不一定经过某些点．故B是错误的．对于C、D只需了解相应概念便会得出正确结论．5．下列叙述中：①变量间关系有函数关系，还有相关关系；②回归函数即用函数关系近似地描述相互关系；③∑xi＝x1＋x2＋…＋xn；④线性回归方程y＝bx＋a中，b＝，a＝y－bx；⑤线性回归方程一定可以近似地表示所有相关关系．其中正确的有()A．①②③B．①②④⑤C．①②③④D．③④⑤答案C解析利用直接法逐个判断可知，①②③④正确，而⑤线性回归方程可以近似地表示具有线性相关关系，而不能表示其他相关关系．6．某化工厂为预测某产品的回收率y，需要研究它和原料有效成份含量x之间的相关关系，现取了8对观察值，计算得：∑xi＝52，∑yi＝228，∑x＝478，∑xiyi＝1849，则y与x的回归方程是()A.y＝11.47＋2.62xB.y＝－11.47＋2.62xC.y＝2.62＋22.47xD.y＝11.47－2.62x答案A解析把题目所给的数据代入公式分别求系数a和b即可．二、填空题7．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．答案0.254解析本小题主要考查了利用回归直线方程，对数据进行估计．以x＋1代x，得0.254(x＋1)＋0.321，与0.254x＋0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元．8．某商店统计了最近6个月某商品的进价x与售价y(单位：元)的对应数据如下：x3528912y46391214则x＝________，y＝________，∑x＝________，∑xiyi＝________，回归方程为________．答案6.58327396y＝1.4x＋0.571解析根据公式代入即可求得，也可以利用计算器求得，x＝6.5，y＝8，∑x＝327，∑xiyi＝396，回归方程为y＝1.4x＋0.571.9．假设学生在初中的英语成绩和高一英语成绩是线性相关的．现有10名学生的初中英语成绩(x)和高一英语成绩(y)如下：x74717268767367706574y76757170767965776272则由此得到的回归直线的斜率为________．(保留到小数点后第4位)答案1.2182解析求斜率即求回归方程中的b，按照公式进行即可，即需要依次计算出x＝71，∑x＝50520，y＝72.3，∑xiyi＝51467，所以b＝≈1.2182，所以斜率为1.2182.三、解答题10．在10年期间，一城市居民的年收入与某种商品的销售额有如下数据：(1)画出散点图；(2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y与x之间的线性回归方程．解(1)散点图如图．(2)由图可知，y与x线性相关，列表计算如下：所以b＝≈1.447，a＝39.1－1.447×37.97≈－15.843，因此，所求线性回归方程为y＝1.447x－15.843.11．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物(也称可入肺颗粒物)，为了探究车...
