无棱二面角的求解方法 学法指导 不分版本VIP免费

无棱二面角的求解方法求二面角的基本方法是按二面角大小的定义，作出二面角的平面角，求出平面角的大小即可。但有些题目中没有给出两个面的交线，难以直接作出二面角的平面角。本文通过一例，就这种情况给出若干种求解方法，供参考。题目：如图1，正三棱柱的各棱长都是1，M是棱的中点，求截面与底面ABC所成锐角二面角的大小。图1一.平移法我们知道，两个平行平面与第三个平面相交，所成的两个同向二面角相等。根据这个道理，可将二面角的一个面或两个面平移到适当的位置，使其相交，构成一个易求解的二面角。解法1：如图2，取的中点D，AB的中点E，则平面DEC中的DE//，则面DEC，面DEC，从而面面DEC。这样，面与面ABC所成的锐二面角等于面DEC与面ABC所成的锐二面角，即二面角。图2由题设条件的正三棱柱，易知，，则是二面角的平面角。在等腰中，。所以面与面ABC所成的锐二面角为。二.补形法将二面角的两个面延展，确定出两个面的交线，从而构成一个完整的二面角。解法2：延长与AC，相交于点P，连结BP，则所求的二面角是（图3）用心爱心专心122号编辑1图3在中，由，且，可得。再由正，可得AC=BC=PC，则。又。所以是二面角的平面角。由等腰，知。三.射影法设二面角的大小为，面内有一个面积为S的封闭图形，该图形在面内的射影面积为S'，则。利用这个结论，只要计算S和S'的值，就可求出二面角的大小。这种方法可以免去寻找二面角的平面角及其证明过程，使解法直截了当，方便快捷。解法3：由正三棱柱的条件，可知是在底面内的射影。取的中点N，连结MN，易求得则等腰的面积，等边的面积。设所求二面角的大小为，由，得。四.向量法设二面角的大小为，分别是平面和平面的法向量，则角与角<>相等或互补。所以。特别地，当为锐角时，。用心爱心专心122号编辑2解法4：以B为原点，与AC平行的直线为x轴，与AC垂直且相交的直线为y轴，为z轴，建立如图4所示的空间直角坐标系，知B（0，0，0），M，。从而。图4设平面的法向量是，则由，有取特值，可解得。所以。显然可取平面ABC的一个法向量为。设平面与平面所成锐角二面角为，由，得所求二面角的大小为。用心爱心专心122号编辑3