考点规范练26平面向量的数量积与平面向量的应用一、基础巩固1.对任意平面向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2答案B解析A项,设向量a与b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cosθ≤|a||b|,所以不等式恒成立;B项,当a与b同向时,|a-b|=||a|-|b||;当a与b非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||.故不等式不恒成立;C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;D项,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立.综上,选B.2.已知a,b为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b=()A.-1B.0C.1D.2答案B解析由已知得|a|=|b|=1,a与b的夹角θ=60°,则(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a||b|cosθ-|b|2=2×1×1×cos60°-12=0,故选B.3.已知向量a=(1,2),b=(m,-4),若|a||b|+a·b=0,则实数m等于()A.-4B.4C.-2D.2答案C解析设a,b的夹角为θ, |a||b|+a·b=0,∴|a||b|+|a||b|cosθ=0,∴cosθ=-1,即a,b的方向相反.又向量a=(1,2),b=(m,-4),∴b=-2a,∴m=-2.4.若向量⃗BA=(1,2),⃗CA=(4,5),且⃗CB·(λ⃗BA+⃗CA)=0,则实数λ的值为()A.3B.-92C.-3D.-53答案C解析 ⃗BA=(1,2),⃗CA=(4,5),∴⃗CB=⃗CA+⃗AB=⃗CA−⃗BA=(3,3),λ⃗BA+⃗CA=(λ+4,2λ+5).又⃗CB·(λ⃗BA+⃗CA)=0,∴3(λ+4)+3(2λ+5)=0,解得λ=-3.5.在四边形ABCD中,⃗AC=(1,2),⃗BD=(-4,2),则该四边形的面积为()A.❑√5B.2❑√5C.5D.10答案C解析依题意得,⃗AC·⃗BD=1×(-4)+2×2=0,∴⃗AC⊥⃗BD.∴四边形ABCD的面积为12∨⃗AC||⃗BD|=12×❑√5×❑√20=5.6.在△ABC中,边AB上的高为CD,若⃗CB=a,⃗CA=b,a·b=0,|a|=1,|b|=2,则⃗AD=()A.13a-13bB.23a-23bC.35a-35bD.45a-45b答案D解析 a·b=0,∴⃗CA⊥⃗CB. |a|=1,|b|=2,∴AB=❑√5.又CD⊥AB,∴由射影定理,得AC2=AD·AB.∴AD=4❑√5=4❑√55.∴ADAB=4❑√55❑√5=45.∴⃗AD=45⃗AB=45¿)=45(a-b),故选D.7.已知向量a=(m,2),b=(2,-1),且a⊥b,则|2a-b|a·(a+b)等于()A.-53B.1C.2D.54答案B解析 a=(m,2),b=(2,-1),且a⊥b,∴a·b=2m-2=0,解得m=1,∴a=(1,2),2a-b=(0,5),|2a-b|=5.又a+b=(3,1),a·(a+b)=1×3+2×1=5,∴|2a-b|a·(a+b)=55=1.8.设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析m,n为非零向量,若存在λ<0,使m=λn,即两向量反向,夹角是180°,则m·n=|m||n|cos180°=-|m||n|<0.反过来,若m·n<0,则两向量的夹角为(90°,180°],并不一定反向,即不一定存在负数λ,使得m=λn,所以“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分不必要条件.故选A.9.已知A(1,2),B(3,4),C(-2,2),D(-3,5),则向量⃗AB在向量⃗CD方向上的投影为()A.❑√105B.2❑√105C.3❑√105D.4❑√105答案B解析由A(1,2),B(3,4),C(-2,2),D(-3,5),得⃗AB=(2,2),⃗CD=(-1,3),⃗AB·⃗CD=2×(-1)+2×3=4,|⃗CD|=❑√1+9=❑√10,则向量⃗AB在向量⃗CD方向上的投影为⃗AB·⃗CD|⃗CD|=4❑√10=2❑√105.10.(2018江苏苏州调研)已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=❑√5,若(a+b)·c=52,则a,c的夹角大小为.答案120°解析设a,c的夹角为θ. a=(1,2),b=(-2,-4),∴b=-2a,∴(a+b)·c=-a·c=52.∴a·c=-52.∴cosθ=a·c|a||c|=-52❑√5×❑√5=-12. 0°≤θ≤180°,∴θ=120°.11.已知|a|=2,|b|=1,(2a-3b)·(2a+b)=9.(1)求向量a与b的夹角θ;(2)求|a+b|及向量a在a+b方向上的投影.解(1)因为|a|=2,|b|=1,(2a-3b)·(2a+b)=9,所以4a2-3b2-4a·b=9,即16-8cosθ-3=9.所以cosθ=12.因为θ∈[0,π],所以θ=π3.(2)由(1)可知a·b=|a||b|cosπ3=1,所以|a+b|=❑√a2+b2+2a·b=❑√7,a·(a+b)=a2+a·b=5.所以向量a在a+b方向上的投影为a·(a+b)|a+b|=5❑√7=5❑√77.二、能力提升12.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,向量m与n的夹角为θ,且cosθ=13.若n⊥(tm+n),则实数t的值为()A.4B.-4C.94D.-94答案B解析由4|m|=3|n|,可设|m|=3k,|n|=4k(k>0),因为n⊥(tm+n),所以n·(tm+n)=n·tm+n·n=t|m|·|n|cosθ+|n|2=t×3k×4k×13+(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4,故选B.13.在矩形ABCD中,AB=1,AD=❑√3,P为矩形内一点,且AP=❑√32.若⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AD(λ,μ∈R)...
