几种常见的数列递推关系式 专题辅导 不分版本VIP免费

几种常见的数列递推关系式高俊玲数列的递推关系是指数列中的前一项（前几项）与后一项的关系式。递推数列是数列中的重要内容，通过递推关系，观察，探求数列的规律，进而可求出整个数列的通项公式。通过递推关系的学习，可以培养学生的观察能力，归纳与转化能力，综合运用知识等能力，因此，是近几年高考与竞赛的热点。下面针对几种高中常见的递推形式及处理方法做一总结。一.定义法常见形式：已知：aaaadnn11，①或aaaaqnn110，②（其中，d常数，q0为常数）定义法即高中所学的两大基本数列——等差数列与等比数列的基本定义式。已知首项，与递推关系，数列的通项即知，在此不做赘述。但这两个基本数列的求通项公式的方法在后续学习中，在方法上起到了指导作用。即我们下面要介绍的方法。二.迭代法常见形式：已知aaaafnnn110，()③或aaaafnfnnn110，，()()不恒为零④（这里的fn()是关于n的关系式）。这两个形式的递推关系式，虽然不是等差与等比数列，但表达方式上非常接近。我们可以利用迭代的方法来求出通项an也可以分别称为叠加法和叠乘法。如：③aaf211()aaf322()……aafnnnNnn112()()*，将以上n1个式子叠加，可得aafffnnnNn11212()()()()*…，这里，我们只须已知数列的首项a1利用求和求出上述等式右端的和，即可求出数列an的通项公式来。如：④的具体例子：例1.（2006年东北三省三校一模试题21）已知数列an，Sn是数列的前n项和，aSnann212，。求Sn。用心爱心专心115号编辑1解：因为SnSSnnNnnn221()()*，所以nSnSnn2221SSnnnnNnn123()*，SSSSSSSSnnnnnnNnnnn3243121314253641323·…····…·，()*即SSnnn212()SnnnnNn()()*123，经验证，n12，也适合上式。所以，SnnnNn()()*12三.构造法常见形式：已知aaapaqnn110，，（p，q为常数，ppq010，，）⑤1.利用递推式构造法构造新数列，转化到常用形式①或②，即基本数列定义式。apaqapaqnnNnnnn112（，）*两式相减，得aapaannNnnnn112()()*，，其实，aaaannnn11与不正是一个数列的前后两项吗？所以，构造一个新的等比数列aann1，这个数列的首项是aa21，公比是p。因为各项是差的形式，利用等比数列求和公式，即可求出通项公式。aaaaaaaaaappnnNnnn2132431211112……，()()()*aaaappnNnn121111()()()*2.利用不动点构造法利用函数不动点的方法。apaqnn1（p，q为常数，ppq010，，）其实是一个函数用心爱心专心115号编辑2关系ypxq。利用函数不动点的特点，解方程fxx()，即pxqx，解得xqp1，通过这个不动点，易构造新的等比数列：aqppaqpaqpaqppnnnn11111113.利用待定系数构造法若通过观察，对常数q适当的拆分，即可以构造新数列，那么也可以用先猜想后待定的办法确定出新数列来。设递推关系式可化为：atpatnn1()可解出tp11。以上三种构造法，可以用来解决很多问题。如：常见形式：apaqnnn1（p，q为常数，ppq010，，）⑥可以用方法三（1），两边同时除以qn1，得aqpqaqqnnnn111·即转化到常见形式⑤来处理。或者利用待定系数法，但对qn适当的拆分不能当成常数进行拆分，须要考虑到与项数的关系：atqpatqnnnn11()，然后同样的方法，解出系数tpqn11()。（当然，递推关系的证明题是可以用数学归纳法来证明的）又如：常见形式：apaqapqpqnnn2100()，为常数，，⑦这是连续三项的递推关系，利用an1的前后关联性，进行构造新数列，不妨采用待定系数法。aaaannnn111()即aaannn21()这时，我们只须令pq，不难解出α，β构成新数列再如：例2.已知：数列aaaaannnn，，112261，这道题目，不方便观察与待定系数，我们仍可以用函数不动点思想来解决。设函数y...