湛江二中高三数学（理科）12月考参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．）题号12345678选项CACBDBBA二、填空题（共7小题，计30分。其中第9、10、11、12小题必做；第13、14、15题选做两题，若3题全做，按前两题得分计算。）9、4．10、__10__（用数字作答）．11、__＿＿。12、___0___。13、；14、___8_____．15、3。三、解答题（考生若有不同解法，请酌情给分！）16.解：（1）…………2分……………………………………3分………………………………………………5分（2）…………………………7分…………………………………9分………………………………………10分故∴当………………………………12分湛江二中高三数学（理科）参考答案及评分标准第1页17．解：⑴、记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么，即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是．……………………4分⑵、记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么，…………………………………………………………6分所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是．………8分⑶、随机变量可能取的值为1，2．事件“”是指有两人同时参加岗位服务，则．所以，的分布列是：……………………………………………………………………10分12∴…………………………………………………………12分18．解：设2008年末汽车保有量为a1万辆，以后各年末汽车保有量依次为a2万辆，a3万辆，…，每年新增汽车x万辆。………………………………………………………………1分a1＝30，a2＝a1×0.94＋x，a3＝a2×0.94＋x＝a1×0.942＋x×0.94＋x，…故an＝a1×0.94n-1＋x（1＋0．94＋…＋0．94n-2）．………………………………………………6分(1):当x=3万辆时，an≤30则每年新增汽车数量控制在3万辆时，汽车保有量能达到要求。……………9分(2):如果要求汽车保有量不超过60万辆，即an≤60（n＝1，2，3，…）湛江二中高三数学（理科）参考答案及评分标准第2页则，即．对于任意正整数n，因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，x≤3．6（万辆）．………………13分答：若每年新增汽车数量控制在3万辆时，汽车保有量能达到要求；每年新增汽车不应超过3．6万辆，则汽车保有量定能达到要求。………………………………………14分19．解：（1）…………………………………………………………2分由己知有实数解，∴，故…………………5分（2）由题意是方程的一个根，设另一根为则，∴……………………………………………………7分∴，当时，；当时，；当时，∴当时，有极大值，又，，即当时，的量大值为………………………10分∵对时，恒成立，∴，∴或………………………………………………………………13分故的取值范围是………………………………………14分湛江二中高三数学（理科）参考答案及评分标准第3页20．解：（1）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连结PQ，依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形，∴MN=PQ.由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1，∴AC=BF=，.即CP=BQ=.∴MN=PQ=（0＜a＜）.…………………………………5分（2）由（Ⅰ），MN=，所以，当a=时，MN=.即M、N分别移动到AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为.………8分（3）取MN的中点G，连结AG、BG，∵AM=AN，BM=BN，G为MN的中点∴AG⊥MN，BG⊥MN，∠AGB即为二面角α的平面角，………………………11分又AG=BG=，所以，由余弦定理有cosα=.故所求二面角的余弦值为－.………………………………………………………14分（注：本题也可用空间向量，解答过程略）21．解：⑴、对任意的正数均有且．又，…………………………………………………4分又是定义在上的单增函数，．当时，，．，．湛江二中高三数学（理科）参考答案及评分标准第4页GQPMNCBAEFD当时，，．，为等差数列，，．……………………………6分⑵、假设存在满足条件，即对一切恒成立．令，，………………………10分故，………………………12分，单调递增，，．．……………………………………………………………14分（考生若有不同解法，请酌情给分！）湛江二中高三数学（理科）参考答案及评分标准第5页
